人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用教课课件ppt

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用教课课件ppt，共20页。PPT课件主要包含了增函数，减函数等内容，欢迎下载使用。

函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
1）都有 f ( x 1)＜f(x2)，
则f(x)在G上是增函数；
2）都有f(x1)＞f(x2)，
则f(x)在G上是减函数；
性质法:增+增→增，减+减→减， －增→减，复合函数单调性同增异减
那么函数的单调性与导数有什么关系呢？
图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间变化的函数 h(t)=-4.9t2+4.8t+11 图像. 图(2)是跳水运动员的速度v随时间t的变化的函数v(t)=-9.8t+4.8的图象.
思考： 运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？
t∈(0,a)时，h′(t)˃0，函数的图像是“上升”的，函数 h(t)在(0,a)上单调递增；
t∈(a,b)时，h′(t)˂0，函数的图像是“下降”的，函数 h(t)在(a,b)上单调递减；
这种情况是否具有一般性呢？
函数在R上f′(x)=1˃0，
（-∞，0）f′(x)=2x˂0，
（0，+∞），f′(x)=2x˃0
函数在R上f′(x)=3x2≥0，
（-∞，0）f′(x)=-x-2˂0，
（0，+∞）f′(x)=-x-2˂0，
由上我们可得以下的结论:
定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内有导数,在某个区间(a,b)上，如果f '(x)> 0,那么函数y=f(x) 在区间(a,b)上单调递增;在某个区间(a,b)上，如果f '(x)< 0,那么函数y=f(x) 在区间(a,b)上单调递减;
再观察函数y=x2－4x＋3的图象
(1)若在某区间上有有限个点使f ′(x)＝0，其余的点恒有f ′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f ′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f ′(x)不恒为0.
思考：如果在某个区间上，恒有f'(x)=0,那么函数f(x)有什么特征？
函数f(x)是常数函数。
探究点1　导数与函数图象的关系
已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是(　)
(链接教科书第86页例2)(1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是 (　　)
看f′(x)>0，因此函数y＝f(x)在区间(－1，1)上为增函数，
y＝f(x)在区间(－1，0)上增加得越来越快，
在区间(0，1)上增加得越来越慢，函数图象应为对数增长的模式．
已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的 (　　)
看原图要看单调区间，从而确定导数的正负。
探究点2　利用导数研究函数的单调性
角度一　不含参数的函数的单调性
【解析】　(1)对f(x)求导得f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)<0，即3(x＋1)(x－1)<0，解得－1解析：函数的定义域为(0，＋∞)，
(1)f(x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)，
(2)函数的定义域为D＝(－∞，＋∞)．∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f′(x)＝0，由于e－x>0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定义域D，得下表：
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0，2)．
如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开.
求函数y＝f(x)的单调区间的步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数；(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数．　
角度二　含参数的函数的单调性
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0，得0＜x＜1.
所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增
设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间．
解：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a. 若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当a>0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞).
探究点3　已知函数的单调性求参数
(1)方法一：f′(x)＝x2－ax＋a－1=(x－1)(x－a+1)，
依题意，得f′(x)≤0在[1，4]上恒成立，且f′(x)≥0在[6，＋∞)上恒成立，
故4≤a－1≤6，即5≤a≤7.
故所求实数a的取值范围为[5，7].
方法二：由f′(x)≤0，得x2－ax＋a－1≤0.
因为x∈(1，4)，所以x＋1∈(2，5)，且a≥x＋1恒成立，所以a≥5.
由f′(x)≥0，得x2－ax＋a－1≥0.因为x∈(6，＋∞)，所以x－1>5，
因为x＋1∈(7，＋∞)，且a≤x＋1恒成立，所以a≤7.
综上，实数a的取值范围是5≤a≤7.
所以函数的单调递增区间为(2，4)，单调递减区间为(1，2)，(4，＋∞).
解得t∈(1，2)或(3，4).
所以实数t的取值范围为(1，2)或(3，4).