初中数学华师大版九年级上册1.锐角三角函数第1课时导学案
展开第24章 解直角三角形
24.3 锐角三角函数
1 锐角三角函数(第1课时)
教学目标 1.理解锐角三角函数的定义. 2.熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算. 教学重难点 重点:理解锐角三角函数的定义. 难点:掌握三角函数之间的关系并会计算. 教学过程 复习巩固 1.直角三角形两锐角、三边之间的关系: 如图,在Rt △ABC中,∠C=90°. 两锐角关系:∠A+∠B=90°. 三边关系:AC2 + BC2 =AB2. 2.相似三角形的性质: 相似三角形对应边成比例,对应角相等. 导入新课 活动1(学生交流,教师点评) 【探究】任意画Rt△ABC 和Rt△A′B′C′,使得∠C=∠C′=90°,∠A=∠A′=α,那么 与 有什么关系.能解释一下吗?
教师引出课题: 24.3 锐角三角函数 1 锐角三角函数 (第1课时) 探究新知 探究点一 锐角的正弦、余弦、正切 活动2(学生交流,教师点评) 接着探究上面的问题,可得在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中,因为∠C=∠C′=90°,∠A=∠A′=α,所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′, .
这就是说,在Rt△ABC中,当锐角∠A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比都是一个固定值. 【总结】 1.∠A的正弦的定义 在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sin A,即 sin A==. 活动3(学生交流,教师点评) 【思考】 一般情况下,在Rt△ABC中,当锐角∠A取其他确定的值时,∠A的对边与邻边的比值还会是一个固定的值吗? 【探索】观察下图 易知 Rt△AB1C1∽ Rt△AB2C2 ∽ Rt△AB3C3 则=,==. 同样可以发现,对于锐角∠A的每一个确定的值,其邻边与斜边的比值、对边与邻边的比值都是一个定值. 【总结】 2.∠A的余弦的定义 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的对边为a,∠A的邻边为b,斜边为c. ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cos A, 即. 3.∠A的正切的定义 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的对边为a,∠A的邻边为b,斜边为c. ∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tan A, 即tan A= =. 探究点二 锐角三角函数的概念 【归纳】在Rt△ABC中,∠C=90°,对于锐角∠A的每一个确定的值,sin A有唯一确定的值与它对应,所以sinA是锐角∠A的函数.同样地,cosA,tanA也是锐角∠A的函数. sin A==, cos A==, tan A= =, 以上分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切,统称为锐角∠A的锐角三角函数. 锐角三角函数的取值范围: 0<sin A<1, 0<cos A<1, tan A>0. 【注意】sin A、cos A、tan A的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关. 活动4 合作探究解决问题(小组交流,教师点评) 典例讲解(师生互动) 例1 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=12,AB=13,求∠A的三个三角函数值. 【解】sin A==,cos A==,tan A==. 例2 如图,∠C=90°,CD⊥AB. (1)sinB可以是哪两条线段之比? (2)若AC=5,CD=3,求sinB的值. 【解】(1). (2)∵ ∠B =∠ACD, ∴ sin B=sin ∠ACD. 在Rt△ACD中,AD= = =4, sin ∠ACD=, ∴ sin B. 【题后总结】(学生总结,老师点评)求一个角的正弦值,除了用定义直接求外,还可以转化为求和它相等角的正弦值.
【即学即练】(小组交流,教师点评) 在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=,求cos A、sin B、tan B的值. 【解】∵ sinA==, ∴ 设AB=13x,BC=12x. 由勾股定理,得AC===5x. ∴ cos A==,sin B==,tan B==. 【题后总结】(学生总结,老师点评)根据sin A=能得到BC与AB的关系,进而通过设未知数,根据勾股定理求出AC.
课堂练习 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果sin A=,那么sin B的值是( ) A. B. C. D.3 2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求sin A、cos A、tan A的值. 3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,tanA=,求sinA、cosB的值. 4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,M是直角边AC上一点,MN⊥AB于点N,AN=3,AM=4,求cos B的值.
参考答案 1.A 2.【解】在Rt△ABC中,∠C=90°,AB =10,BC=6, ∴ . 由勾股定理,得, ∴ . 3.【解】∵ ,AC=8, . ,. 4.【解】∵ ∠C=90°,MN⊥AB, ∴ ∠C=∠ANM=90°. 又∵ ∠A=∠A, ∴ △AMN∽△ABC, ∴ ==. 设AC=3x,AB=4x, 由勾股定理,得BC==x. 在Rt△ABC中,cos B===. 课堂小结 (学生总结,老师点评) 锐角∠A的正弦,余弦,正切 sin A==; cos A==; tan A= =. 锐角∠A的正弦、余弦、正切,统称为锐角∠A的锐角三角函数. 【注意】sin A、 cos A 、tan A的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
布置作业 教材第107页练习题第1,2,3题. 板书设计 课题 24.3 锐角三角函数 1 锐角三角形函数(第1课时) 【探究】 例1 锐角∠A的正弦,余弦,正切 例2 sin A==; cos A==; tan A= =. | 教学反思
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