高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念导学案

4.2.1 等差数列的概念（2）  导学案

1.能用等差数列的定义推导等差数列的性质.

2.能用等差数列的性质解决一些相关问题.

3.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题.

重点：等差数列的性质及其应用

难点：等差数列的性质的推导

1．等差数列的概念

2．等差中项

(1)条件：如果a，A，b成等差数列．

(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．

(3)满足的关系式是a＋b＝2A.

3.等差数列的通项公式；an＝a1＋(n－1)d，n∈N*；

4.通项公式的应用；

一、典例解析

例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的范围.

        等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用.将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程.

跟踪训练1.  孟子故里邹城市是我们的家乡，它曾多次入选中国经济百强县.经济的发展带动了市民对住房的需求.假设该市2019年新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在第（      ）年新建住房的面积开始大于820万平方米？

A.2026     B.  2027        C. 2028           D.2029

例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2，在{an} 中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.

(1)求数列{bn} 的通项公式.

(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.

对于第（2）小题，你还有其他解法吗？

等差数列的性质

         如果在一个等差数列的每相邻两项之间都插入 )个合适的数，

仍然可以构成一个新的等差 数列.

例5. 已知数列 是等差数列，,且

求证:

例5 是等差数列的一条性质，右图是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？

        通过上节课我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上，那么你能从直线斜率的角度来解释这一性质吗？

1．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为(　　)

A．20　　　　　　　　B．30           C．40    D．50

2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．

3．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，则k＝________.

4．在首项为31，公差为－4的等差数列中，绝对值最小的项是________.

5．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.

1) 应用等差数列解决生活中实际问题的方法.

2) 等差数列的每相邻两项之间都插入 )个合适的数，仍然可以构成一个新的等差数列.

3) 等差数列，, 则

参考答案：

知识梳理

学习过程

一、典例解析

例3.分析：该设备使用n年后的价值构成数列{an}，由题意可知，an＝an－1－d (n≥2). 即：an－an－1＝－d.所以{an}为公差为－d的等差数列.10年之内（含10年），该设备的价值不小于万元；10年后，该设备的价值需小于11万元．利用{an}的通项公式列不等式求解．

解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}．

由已知条件，得an＝an－1－d（n≥2）．

所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列.

因为a1＝220－d，

所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd.

由题意，得a10≥11，a11＜11.  

即：解得19<d≤20.9

所以，d的求值范围为19<d≤20.9

跟踪训练1.  C解：设从2019年开始，该市每年新建住房面积为万平方米.

由题意可知  是等差数列，首项a1 =400 ，公差50

 所以+() 50=50

令50 20，解得

由于

所以该市在2028年 建住房面积开始大于820万平方米.

例4. 分析：（1） {an}是一个确定的数列，只要把a1 ，a2表示为{bn}中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式；（2）设{an}中的第n项是{bn}中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29是否为{an}的项.

解：（1）设等差数列的公差为

∵b1, b5, b5b1   =8

∵b5b1   , 8, ,

+() 2=2

所以数列的通项公式是=2

（2）数列的各项依次是数列的第1,5,9,13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则=4 3

令4 3=29,   解得: =8

所以， b29是数列的第8项

对于第（2）小题，你还有其他解法吗？

例5. 分析：利用等差数列的中的两个基本量    ,再根据等差数列的定义

写出即可得证.

证明：设数列 的公差为,则

+()

+()

+()

+()

所以:

,

因为

所以

例5 通过上节课我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上，那么你能从直线斜率的角度来解释这一性质吗？

思路：

∵,

达标检测

1．【答案】C　[∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，

∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，

∴a7＝20.

∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.]

2． 23.2　[根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．]

3．【答案】18　[∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，

∴a7＝.

又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.

故d＝＝＝.

∵ak＝a9＋(k－9)d＝13，∴13－7＝(k－9)×，∴k＝18.]

4． 【答案】－1　[可求得数列的通项公式为an＝35－4n.

则当n≤8时an>0；当n≥9时an<0.

又a8＝3，a9＝－1.故绝对值最小的项为a9＝－1.]

5．【答案】法一：设这三个数为a，b，c(a<b<c)，则由题意得

，解得

法二：设这三个数为a－d，a，a＋d，

由已知得

由①得a＝6，代入②得d＝±2，

∵该数列是递增的，∴d＝－2舍去，

∴这三个数为4,6,8.