数学选择性必修 第二册第四章 数列4.1 数列的概念第1课时一课一练

第四章数列

4.1　数列的概念

第1课时　数列的概念与简单表示

课后篇巩固提升

基础达标练

1.(多选)下列四个选项中,不正确的是(　　)

A.数列,…的一个通项公式是an=

B.数列的图象是一群孤立的点

C.数列1,-1,1,-1,…与数列-1,1,-1,1,…是同一数列

D.数列,…,是递增数列

解析由通项公式知a1=,故A不正确;易知B正确;由于两数列中数的排列次序不同,因此不是同一数列,故C不正确;D中的数列为递减数列,所以D不正确.

答案ACD

2.已知数列-1,,-,…,(-1)n,…,它的第5项的值为(　　)

A. B.- C. D.-

解析第5项为(-1)5×=-.

答案D

3.已知数列的通项公式an=则a2a3等于(　　)

A.70 B.28 C.20 D.8

解析由an=

得a2a3=2×10=20.故选C.

答案C

4.(多选)已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则3可以是(　　)

A.数列{an}中的第1项

B.数列{an}中的第2项

C.数列{an}中的第4项

D.数列{an}中的第6项

解析令n2-8n+15=3,解得n=2或n=6,因此3是数列{an}中的第2项和第6项,故选BD.

答案BD

5.下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是 (　　)

A.1,,…

B.sin,sin,sin,…

C.-1,-,-,-,…

D.1,,…,

解析A中数列是递减数列,B中数列不是单调数列,D中数列是有穷数列,C中数列符合条件.

答案C

6.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是 (　　)

A. B.cos

C.cos D.cos

解析当n=1时,C不成立;当n=2时,B不成立;当n=4时,A不成立.故选D.

答案D

7.数列,…中,有序数对(a,b)可以是　　　　　. 

解析由已知,各项可写为,…,

可得a=3×5=15,b=24+2=26,故数对(a,b)为(15,26).

答案(15,26)

8.数列-1,1,-2,2,-3,3,…的一个通项公式为　　　　　. 

解析注意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得an=

答案an=

9.写出以下各数列的一个通项公式.

(1)1,-,-,…;

(2)10,9,8,7,6,…;

(3)2,5,10,17,26,…;

(4),…;

(5)3,33,333,3 333,….

解(1)an=(-1)n+1;

(2)an=11-n;

(3)an=n2+1;

(4)an=;

(5)an=(10n-1).

10.已知数列{an},an=n2-pn+q,且a1=0,a2=-4.

(1)求a5.

(2)判断150是不是该数列中的项?若是,是第几项?

解(1)由已知,得

解得所以an=n2-7n+6,

所以a5=52-7×5+6=-4.

(2)令an=n2-7n+6=150,解得n=16(n=-9舍去),所以150是该数列中的项,并且是第16项.

能力提升练

1.(2019河南林州一中高二月考)已知数列,2,…,则2是这个数列的(　　)

A.第6项 B.第7项

C.第19项 D.第11项

解析数列可改写为,…,据此可得数列的通项公式为an=,

由=2,解得n=7,即2是这个数列的第7项.

答案B

2.数列,-,-,…的第10项是(　　)

A.- B.- C.- D.-

解析由数列,-,-,…,

可知,奇数项的符号为正号,偶数项的符号为负号,

而分子为偶数2n(n为项数),分母比分子大1,

故可得到通项公式an=(-1)n+1·,

所以a10=(-1)11·=-.

答案C

3.(2019乌鲁木齐第四中学高二期中)数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于(　　)

A.28 B.32 C.33 D.27

解析因为数列的前几项为2,5,11,20,x,47,

其中5-2=1×3,11-5=2×3,20-11=3×3,

可得x-20=4×3,解得x=32,故选B.

答案B

4.(2019河南高三月考)正整数数列按如下规律分组:(1),(2,3,4),(5,6,7,8,9),(10,11,12,13,14,15,16),…,则第100组的第100个数字是(　　)

A.10 301 B.10 100 C.9 901 D.9 704

解析由题意可知第n组的最后一个数是n2,

∴第100组的第100个数字是992+100=9 901.

答案C

5.(2019山西高二月考)将正整数排成下表:

1

2　3　4

5　6　7　8　9

10　11　12　13　14　15　16

…

则在表中数字2 019出现在(　　)

A.第44行第82列 B.第45行第82列

C.第44行第83列 D.第45行第83列

解析因为每行的最后一个数分别是1,4,9,16,…,

可归纳出第n行的最后一个数是n2,

因为442=1 936,452=2 025,

所以2 019出现在第45行,又2 019-1 936=83,

所以2 019出现在第45行第83列.

答案D

6.函数f(x)=x2-2x+n(n∈N*)的最小值记为an,设bn=f(an),则数列{an},{bn}的通项公式分别是an=　　　　　,bn=　　　　　. 

解析当x=1时,f(x)min=f(1)=1-2+n=n-1,

即an=n-1;

将x=n-1代入f(x)得,bn=f(n-1)=(n-1)2-2(n-1)+n=n2-3n+3.

答案n-1　n2-3n+3

7.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*).

(1)0和1是不是数列{an}中的项?如果是,那么是第几项?

(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项?

解(1)令an=0,得n2-21n=0,∴n=21或n=0(舍去),∴0是数列{an}中的第21项.令an=1,得=1,

而该方程无正整数解,∴1不是数列{an}中的项.

(2)假设存在连续且相等的两项是an,an+1,

则有an=an+1,即.

解得n=10,所以存在连续且相等的两项,它们分别是第10项和第11项.

素养培优练

在数列{an}中,an=.

(1)求数列的第7项;

(2)求证:此数列的各项都在区间(0,1)内;

(3)区间内有没有数列中的项?若有,有几项?

(1)解a7=.

(2)证明∵an==1-,

∴0<an<1,故数列的各项都在区间(0,1)内.

(3)解令,则<n2<2,n∈N*,

故n=1,即在区间内有且只有1项a1.