高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念教案

【新教材】5.2.2 同角三角函数的基本关系教学设计（人教A版）

本节内容是学生学习了任意角和弧度制，任意角的三角函数后，安排的一节继续深入学习内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数知识的基础，在教材中起承上启下的作用。同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。

课程目标

1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．

2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．

数学学科素养

1.数学抽象：理解同角三角函数基本关系式；

2.逻辑推理： “sin α±cos α”同“sin αcos α”间的关系；

3.数学运算：利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明

重点：理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；

难点：会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、    情景导入

公式一表明终边相同的角的三角函数值相等，那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本182-183页，思考并完成以下问题

1．同角三角函数的基本关系式有哪两种？

2．同角三角函数的基本关系式适合任意角吗？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2 α＋cos2 α＝1.

商数关系：＝tan_α.

(2)语言叙述：同一个角α 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．

思考：“同角”一词的含义是什么？

[提示]　一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cos215°＝1，sin2＋cos2＝1等．

四、典例分析、举一反三

题型一    应用同角三角函数关系求值

例1 (1)若，求cos α，tan α的值；

(2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．

【答案】(1)当α是第三象限角时，cos α＝－，tan α＝.

α是第四象限角时，cos α＝，tan α＝-

(2)如果α是第二象限角，那么sin α＝，tan α＝－.

如果α是第三象限角， sin α＝－，tan α＝.

【解析】(1)∵sin α＝－，α是第三、第四象限角，

当α是第三象限角时，

cos α＝－＝－，tan α＝＝.

α是第四象限角时，

cos α＝＝，tan α＝＝-

(2)　∵cos α＝－＜0，

∴α是第二或第三象限的角．

如果α是第二象限角，那么

sin α＝＝＝，

tan α＝＝＝－.

如果α是第三象限角，同理可得

sin α＝－＝－，tan α＝.

解题技巧：（利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法）

(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．

(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果．

提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号．

跟踪训练一

1．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．

【答案】角α的终边在第二象限时，cos α＝－，sin α＝；

当角α的终边在第四象限时，cos α＝，sin α＝－.

【解析】　∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α.

又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，

∴cos α＝±.

又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号，

∴角α的终边在第二或第四象限．

当角α的终边在第二象限时，cos α＝－，sin α＝；

当角α的终边在第四象限时，cos α＝，sin α＝－.

题型二  三角函数式的化简、求值

例2　(1)化简：；

(2)若角α是第二象限角，化简：tan α.

【答案】（1）1；  （2）-1.

【解析】　(1)原式＝

＝＝＝1.

(2)原式＝tan α＝tan α＝×，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以原式＝×＝×＝－1.

解题技巧：(化简三角函数式的常用方法)

1、切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简.

2、对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的

3、对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的.

提醒：在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.

跟踪训练二

1．化简：(1)；

(2).

【答案】(1)1；(2) cos θ.

【解析】　(1)原式＝＝＝＝＝1.

(2)原式＝＝＝cos θ.

题型三    三角函数式的证明

例3 求证：.

【答案】见解析

【解析】

解题技巧：（三角函数式解题思路及解题技巧）

1．证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)．

2．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．

3．解决此类问题要有整体代换思想．

跟踪训练三

1．求证：＝.

【答案】见解析

【解析】证明：　右边＝＝

＝＝＝左边，

∴原等式成立．

题型四   “sin α±cos α”同“sin αcos α”间的关系

例4 已知sin α＋cos α＝，且0＜α＜π.

求：(1)sin αcos α的值；

(2)求sin α－cos α的值．

【答案】(1)－； (2).

【解析】证明：(1)∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，

∴1＋2sin αcos α＝，即sin αcos α＝－.

(2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.

又∵0＜α＜π，且sin αcos α＜0，

∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0，

∴sin α－cos α＝.

解题方法（ “sin α±cos α”同“sin αcos α”间的关系）

1、已知sin θ±cos θ求sin θcos θ，只需平方便可．

2、已知sin θcos θ求sin θ±cos θ时需开方，此时要根据已知角θ的范围，确定sin θ±cos θ的正负．

跟踪训练四

1.已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝        ．

2.已知＝2，计算下列各式的值：

(1)；

(2)sin2α－2sin αcos α＋1.

1、【答案】－.

【解析】法一：(构建方程组)

因为sin α＋cos α＝，①

所以sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，

即2sin αcos α＝－.

因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0.

所以sin α－cos α＝＝＝.②

由①②解得sin α＝，cos α＝－，

所以tan α＝＝－.

法二：(弦化切)

同法一求出sin αcos α＝－，＝－，＝－，

整理得60tan2α＋169tan α＋60＝0，解得tan α＝－或tan α＝－.

由sin α＋cos α＝＞0知|sin α|＞|cos α|，故tan α＝－.

2.【答案】（1）；(2).

【解析】由＝2，

化简得sin α＝3cos α，

所以tan α＝3.

（1）法一(换元)原式＝＝＝.

法二(弦化切)原式＝＝＝.

(2)原式＝＋1

＝＋1＝＋1＝.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本184页练习及184页习题5.2.

学生容易推导出同角三角函数的基本关系式，但对于运用初学时一部分学生感到困难，经多例题讲解、巩固练习、小组讨论后，难点基本得以突破。