高中数学3.1 函数的概念及其表示教学设计及反思

第2课时　分段函数

分段函数

如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．

思考：分段函数是一个函数还是几个函数？

提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．

1．下列给出的式子是分段函数的是(　　)

①f(x)＝

②f(x)＝

③f(x)＝

④f(x)＝

A．①②　　　 B．①④

C．②④   D．③④

B　[结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B.]

2．函数y＝的值域是________．

[答案]　[0，＋∞)

3．函数f(x)＝则f(f(4))＝________.

0　[∵f(4)＝－4＋3＝－1，f(－1)＝－1＋1＝0，

∴f(f(4))＝f(－1)＝0.]

分段函数的求值问题

【例1】　已知函数f(x)＝

(1)求f(－5)，f(－)，f的值；

(2)若f(a)＝3，求实数a的值．

[解]　(1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，

f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2.

∵f＝－＋1＝－，

而－2<－<2，

∴f＝f＝2＋2×＝－3＝－.

(2)当a≤－2时，a＋1＝3，

即a＝2>－2，不合题意，舍去．

当－2<a<2时，a2＋2a＝3，

即a2＋2a－3＝0.

∴(a－1)(a＋3)＝0，

解得a＝1或a＝－3.

∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，

∴a＝1符合题意．

当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．

综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.

1．分段函数求函数值的方法：

(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．

(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．

2．已知函数值求字母取值的步骤：

(1)先对字母的取值范围分类讨论．

(2)然后代入不同的解析式中．

(3)通过解方程求出字母的值．

(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．

提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．

1．函数f(x)＝则f(7)＝________.

8　[∵函数f(x)＝

∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8.]

分段函数的解析式

【例2】　如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．

[思路点拨]　可按点E所在的位置分E在线段AB，E在线段AD及E在线段CD三类分别求解．

[解]　过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.

因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 cm，

所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm，

又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.

(1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝x2；

(2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝×2＝2x－2；

(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝(7＋3)×2－(7－x)2

＝－(x－7)2＋10.

综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为

y＝

图象如图所示．

1．当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．

2．通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养．

2．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：

(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；

(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．

[解]　设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．

由题意得函数的解析式如下：

y＝

函数图象如图所示：

分段函数的图象及应用

[探究问题]

1．函数f(x)＝|x－2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？

提示：能．f(x)＝

函数f(x)的图象如图所示．

2．结合探究点1，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？

提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．

【例3】　已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2)．

(1)用分段函数的形式表示f(x)；

(2)画出f(x)的图象；

(3)写出函数f(x)的值域．

[思路点拨]　(1)分－2<x<0和0≤x≤2两种情况讨论，去掉绝对值可把f(x)写成分段函数的形式；

(2)利用(1)的结论可画出图象；

(3)由(2)中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域．

[解]　(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，

当－2<x<0时，

f(x)＝1＋＝1－x，

∴f(x)＝

(2)函数f(x)的图象如图所示．

(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．

分段函数图象的画法

作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.

1．分段函数是一个函数，而不是几个函数．

2．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．

3．分段函数的图象

分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象．

1．思考辨析

(1)分段函数由几个函数构成．(　　)

(2)函数f(x)＝是分段函数．(　　)

[答案]　(1)×　(2)√

2．设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　)

A.　　　B．3　　　C.　　　D.

D　[∵f(3)＝≤1，

∴f(f(3))＝2＋1＝.]

3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则其解析式为________．

f(x)＝　[当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，又过点(1,2)，故k＝2，∴f(x)＝2x；

当1<x<2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3.

综上f(x)＝]

4．已知f(x)＝

(1)画出f(x)的图象；

(2)求f(x)的定义域和值域．

[解]　(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．

(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，

当x>1或x<－1时，f(x)＝1，

所以f(x)的值域为[0,1]．