【最新版】高中数学（新人教A版）习题+同步课件限时小练30　双曲线标准方程的求解

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限时小练30　双曲线标准方程的求解1.设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为(　　)A.   B.3  C.   D.2答案　B解析　法一　由题意知a＝1，b＝，c＝2，F1(－2，0)，F2(2，0)，如图，因为|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，故PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16.由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，所以|PF1||PF2|＝6，所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|＝3.故选B.法二　由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，且|F1F2|＝2＝4.设点P的坐标为(x0，y0)，则解得|y0|＝.所以△PF1F2的面积为|F1F2|·|y0|＝×4×＝3.故选B.2.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点.若|AB|＝4，|BC|＝3，则此双曲线的标准方程为________________.答案　x2－＝1解析　设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0).由题意得B(2，0)，C(2，3)，∴解得∴双曲线的标准方程为x2－＝1.3.求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；(2)与椭圆＋＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.解　(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0).由题设知，a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上，所以解得故所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)椭圆＋＝1的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)(或(－，4)).设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得故所求双曲线的标准方程为－＝1.