【最新版】高中数学（新人教A版）习题+同步课件限时小练28　利用椭圆性质求解最值或范围问题

限时小练28　利用椭圆性质求解最值或范围问题

1.已知椭圆＋x2＝1(a>1)的离心率e＝，P为椭圆上的一个动点，若定点B(－1，0)，则|PB|的最大值为(　　)

A.   B.2 

C.   D.3

答案　C

解析　由题意可得：e2＝＝，

据此可得：a2＝5，

椭圆方程为＋x2＝1，

设P点的坐标为(x0，y0)，则y＝5(1－x)，

故|PB|＝

＝

＝，

当x0＝时，|PB|max＝.

2.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2，则椭圆长轴长的最小值为________.

答案　4

解析　由题意知，当椭圆上的点为短轴端点时，三角形面积有最大值，即bc＝2.

∴a2＝b2＋c2≥2bc＝4，

∴a≥2，当且仅当b＝c＝时等号成立.

∴2a≥4，即椭圆长轴长的最小值为4，

故答案为4.

3.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的交点为A，B，与y轴的交点为C，且B为线段CF1的中点，若|k|≤，求椭圆离心率e的取值范围.

解　依题意得F1(－c，0)，直线l：y＝k(x＋c)，则C(0，kc).

因为点B为CF1的中点，所以B(－，).

因为点B在椭圆上，所以＋＝1，

即＋＝1.

所以＋＝1.

所以k2＝.

由|k|≤，得k2≤，

即≤，

所以2e4－17e2＋8≤0.解得≤e2≤8.

因为0＜e＜1，所以≤e2＜1，

即≤e＜1.