【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件限时小练30　双曲线的标准方程与几何性质

限时小练30　双曲线的标准方程与几何性质

1.(多选)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠MAN＝60°，则(　　)

A.C的渐近线方程为y＝±x

B.C的离心率为e＝

C.C的离心率为e＝

D.C的渐近线方程为y＝±x

答案　AC

解析　双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A(a，0)，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.

若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx＋ay＝0的距离为bcos 30°＝b，

可得＝b，即＝，故e＝，

且＝＝，故渐近线方程为y＝±x.

2.已知F2是双曲线C：－＝1的右焦点，动点A在双曲线左支上，点B为圆E：x2＋(y＋2)2＝1上一点，则|AB|＋|AF2|的最小值为(　　)

A.9   B.8

C.5   D.6

答案　A

解析　双曲线－＝1中，a＝3，b＝，c＝＝2，F1(－2，0)，圆E的半径为r＝1，E(0，－2)，

∴|AF2|＝|AF1|＋2a＝|AF1|＋6，|AB|≥|AE|－|BE|＝|AE|－1(当且仅当A，E，B共线且B在A，E间时取等号).

∴|AB|＋|AF2|≥|AF1|＋6＋|AE|－1＝|AF1|＋|AE|＋5≥|EF1|＋5＝＋5＝9，当且仅当A是线段EF1与双曲线的交点时取等号.

∴|AB|＋|AF2|的最小值是9.

3.如图所示，已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中，c＝2a，F1，F2分别为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，S△F1PF2＝12，求双曲线的标准方程.

解　由题意得||PF1|－|PF2||＝2a，在△F1PF2中，由余弦定理得

cos 60°＝＝∴|PF1|·|PF2|＝4(c2－a2)＝4b2.

∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|·sin 60°＝2b2·＝b2.

∴b 2＝12，b2＝12.

由c＝2a，c2＝a2＋b2，得a2＝4.

∴双曲线的标准方程为－＝1.