第1讲 分式及分式方程华师大版九年级上册数学专题讲义（原卷版+解析版）

第1讲 分式及分式方程

       【学习目标】

1.   理解分式的意义，明确分式与整式的区别
2.   掌握分式的计算
3.   解分式方程
4.   运用分式方程解决问题

        【基础知识】

考点一、分式的有关概念及性质

1．分式

一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.

考点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义.

2.分式的基本性质

　　（M为不等于0的整式）.

3．最简分式

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.

考点二、分式的运算

1．约分　

利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.

2．通分

利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　

3．基本运算法则

　 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:

（1）加减运算 

 ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.

；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.

（2）乘法运算   ，其中是整式，.

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.

（3）除法运算  ，其中是整式，.

两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.

（4）乘方运算              

分式的乘方，把分子、分母分别乘方.

4.分式的混合运算顺序

　先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.

考点三、分式方程

1．分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

2．分式方程的解法

解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．

3．分式方程的增根问题

增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.

考点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.

考点四、分式方程的应用

　　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.

   【考点剖析】

考点一：分式及其基本性质

例1．在中，分式的个数是（     ）

A.2            B.3              C.4           D.5

【答案】C；

【解析】是分式.

【总结】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．

例2、当为何值时，分式的值为0？

【思路】先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于0，当它使分母的值不等于0时，这个值就是要求的字母的值．

【答案】

解： 要使分式的值为0，必须满足分子等于0且分母不等于0．

 由题意，得  解得．

∴  当时，分式的值为0．

【总结】分式的值为0的条件是：分子为0，且分母不为0，即只有在分式有意义的前提下，才能考虑分式值的情况.

举一反三：

【变式】（1）若分式的值等于零，则＝_______；

　　　　（2）当________时，分式没有意义．

【答案】（1）由＝0，得. 当＝2时－2＝0，所以＝－2；　　　　　　

　　　 （2）当，即＝1时，分式没有意义．

考点二：分式运算

例3．计算：．

【答案】

解：

．

【总结】本题有两处易错：一是不按运算顺序运算，把和先约分；二是将和约分后的结果错认为是1．因此正确掌握运算顺序与符号法则是解题的关键．

举一反三：

【变式】化简：÷（﹣）

【答案】

解：原式=÷

=•

=﹣．

考点三：分式方程的解法

例4．解方程：．

【思路】观察可得最简公分母是（x﹣1）（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．

【答案】

解：方程的两边同乘（x﹣1）（x+1），得

3x+3﹣x﹣3=0，

解得x=0．

检验：把x=0代入（x﹣1）（x+1）=﹣1≠0．

∴原方程的解为：x=0．

【总结】本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．

举一反三：

【变式】，

【答案】

 解： 方程两边同乘以，得

检验：当时，最简公分母，

∴是原方程的解．

考点四：分式方程的应用

例4．某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？

【思路】先设原计划每天铺设x米管道，则实际施工时，每天的铺设管道（1+20%）x米，由题意可得等量关系：原计划的工作时间﹣实际的工作时间=5，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．

【答案】

解：设原计划每天铺设x米管道，由题意得：

﹣=5，

解得：x=20，

经检验：x=20是原方程的解．

答：原计划每天铺设20米管道．

【总结】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．

举一反三：

【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王老师家的路程为3 km，王老师家到学校的路程为0.5 km，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20 min，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少?

【答案】

解：设王老师步行的速度为 km/h，则他骑自行车的速度为3 km/h．

根据题意得：．

解得：．

经检验是原方程的根且符合题意．

当时，．

答：王老师步行的速度为5km/h，他骑自行车的速度为15km/h．

        【真题演练】

1．下列各式：（﹣m）2，，，x2+y2，5，，中，分式有（　　）

　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

【答案】B；

【解析】解：（﹣m）2，，x2+y2，5，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．，分母中含有字母，因此是分式．

故选B．

2.把分式中的都扩大3倍，则分式的值(    )．

A.扩大3倍  B.扩大6倍
C.缩小为原来的  D.不变

 【答案】D；

【解析】.

3．下列各式中，正确的是(    )．

A. B.

C. D.

【答案】A；

【解析】.

4.式子的值为0，那么的值是（    ）

A．2 B．－2 C．±2 D．不存在

【答案】B；

【解析】由题意且，解得.

5．化简﹣等于（　　）

A．       B．      C．﹣        D．﹣

【答案】B；

【解析】解：原式=+=+==，故选B.

6.下列分式中，最简分式是(    )．

A.  B.

C.  D.

【答案】D；

7．将分式方程化为整式方程时，方程两边应同乘（    ）．

A．  B．

C．  D．

【答案】D；

【解析】原方程的最简公分母为.

8.方程的解是（    ）

A．0 B．2 C．3 D．无解

【答案】D；

【解析】解分式方程得，经检验，为原方程的增根.

二.填空题

9．若x＞，那么的值是______________．

【答案】1；

【解析】若x＞，

不等式两边同时乘以5，得到5x＞2，

则2﹣5x＜0，

∴|2﹣5x|=5x﹣2，

那么==1．.

10．当______时，分式有意义．

【答案】；

11．当______时，分式的值为正．

【答案】；

【解析】要使分式的值为正，需，解得.

12．＝______．

【答案】；

   【解析】.

13.化简：（+）=　         　．

【答案】a；

【解析】解：原式=•=（a+3）•=a．

14.写出下列分式中的未知的分子或分母：

（1）；（2）；（3）．

【答案】（1）  （2）  （3）

15．分式方程若要化为整式方程，在方程两边同乘的最简公分母是______．

【答案】

16．方程的解是______．

【答案】；

【解析】去分母得，，化简得：，经检验，是原方程的根.

三.解答题

17.计算；（2）．

【解析】

解：（1）

．

（2）原式．

18.已知，求．

【解析】

解：原式

           ．

当时，原式．

19. 已知，求的值．

【解析】 

解： 设，则，，．

所以．

20.济南与北京两地相距480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，求高铁列车的平均行驶速度．

【解析】

解：设普通快车的速度为xkm/时，由题意得：

﹣=4，

解得：x=80，

经检验：x=80是原分式方程的解，

3x=3×80=240，

答：高铁列车的平均行驶速度是240km/时．

       【过关检测】

一.选择题

1．下列关于的方程，其中不是分式方程的是（　　）

A.              B.  

C.               D.

【答案】C；

【解析】分式方程是分母含有未知数的等式.

2．的结果是（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B；

【解析】.

3．分式方程的解是（    ）

A．0 B．2 C．0或2 D．无解

【答案】D；

【解析】去分母得，，解得是增根.

4．关于x的分式方程=2+有增根，则实数k的值为（　　）

　 A． 3 B .0 C.±3 D． 无法确定

【答案】A；

【解析】解：分式方程去分母得：x=2x﹣6+k，

由分式方程有增根，得到x﹣3=0，即x=3，

把x=3代入整式方程得：k=3．

故选A．

5．某农场挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖米，那么下列方程正确的是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】A；

【解析】原计划所用时间为，实际所用时间为，选A．

6．化简的结果是(    )．

A． B． C．　　D．

 【答案】B；

【解析】.

7. 若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（　　）

A．a≥1    B．a＞1     C．a≥1且a≠4     D．a＞1且a≠4

【答案】C；

【解析】去分母得：2（2x﹣a）=x﹣2，解得：x=，

由题意得：≥0且≠2，解得：a≥1且a≠4，故选：C．

8. 甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则经过相遇；若同向而行，则经过 甲追上乙．那么甲的速度是乙的（   ）

A．倍    B．倍    C．倍    D．倍

【答案】C；

【解析】不妨设甲乙两人开始时相距s千米，甲的速度为，乙的速度为，

则根据题意有于是  ，

所以  ，即．甲的速度是乙的倍．

二.填空题

9．若分式的值为0，则的值为______．

【答案】0；

【解析】由题意且，解得.

10．若，且＞0，则分式的值为______．

【答案】1；

【解析】由得，因为＞0，所以，代入原式得.

11．化简______；＝______．

【答案】；；

【解析】；.

12．化简﹣的结果是__________．

【答案】a+1；

【解析】﹣=.

13．a，b互为倒数，代数式÷（+）的值为____________．

【答案】1；

【解析】原式=÷=（a+b）•=ab，

∵a，b互为倒数，∴a•b=1，∴原式=1．

14．已知，则=　        　．

【答案】；

【解析】解：设=k，则x=2k，y=3k，z=4k，则===．

15．若分式方程的解是，则______．

【答案】7；

【解析】将代入原方程，解得.

16．个人天可做个零件(设每人速度一样)，则个人用同样速度做个零件所需天数是________．

【答案】；

【解析】每人每天做个零件，个人用同样速度做个零件所需天数是

．

三.解答题

17.（1）已知，求，的值；

（2）已知，求的值．

【解析】

解：（1）因为，所以，

所以，所以．

所以．同理可得．

（2）因为，所以，

所以，所以．

18.已知x2﹣x﹣6=0，求的值．

【解析】 

解：∵x2﹣x﹣6=0，

∴x2=x+6，

∴把x2=x+6代入：

原式=

    =

    =

    =

    =

    =

所以原式的值是.

19.为何值时，关于的方程会产生增根？

【解析】

解：方程两边都乘以，得．

整理得．

当时，方程无解．

当时，．

如果方程有增根，那么，即，或．

当时，，所以；

当时，，所以．

所以当或时，原方程会产生增根．

20. 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，上市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．

（1）求第一批购进书包的单价是多少元？

（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？

【解析】

解：（1）设第一批购进书包的单价为元，则第二批购进书包的单价为元，第一批购进书包个，第二批购进书包个．

依题意，得，

整理，得，解得．经检验是原方程的根.

（2）（元）．

答：第一批购进书包的单价为80元．商店共盈利3700元．