高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用学案设计

第2课时　基本不等式的应用

课堂探究·素养提升——强化创新性

题型1　利用基本不等式证明不等式[经典例题]

例1　已知a、b、c＞0，求证：≥a＋b＋c.

方法归纳

(1)在利用a＋b≥2时，一定要注意是否满足条件a＞0，b＞0.

(2)在利用基本不等式a＋b≥2或(a＞0，b＞0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式．

(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用．

跟踪训练1　已知x＞0，y＞0，z＞0.

求证：≥8.

分别对用基本不等式⇒同向不等式相乘．

题型2　利用基本不等式解决实际问题

[教材P71例3]

两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；

两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．

例2　(1)已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？

(2)已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？

【分析】　在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值；在(2)中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽的积的最大值．

【解析】　(1)设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得xy＝100.

因为x＞0，y＞0，所以＝10，

所以2(x＋y)≥40.

当且仅当x＝y时，等号成立，由可知此时

x＝y＝10.

因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40.

(2)设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得2(x＋y)＝36，即x＋y＝18.

因为x＞0，y＞0，所以＝，

因此≤9，即xy≤81.

当且仅当x＝y时，等号成立，由可知此时

x＝y＝9.

因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81.

教材反思

利用基本不等式解决实际问题的步骤

解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．

(4)正确写出答案．

跟踪训练2　某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．

(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？

(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？

状元随笔　1.盈利等于总收入－支出，注意支出，由两部分组成．

2．利用基本不等式求平均利润．

第2课时　基本不等式的应用

课堂探究·素养提升

例1　【证明】　∵a，b，c，均大于0，

∴＋b≥2＝2a.

当且仅当＝b时等号成立．

＋c≥2＝2b.

当且仅当＝c时等号成立．

＋a≥2＝2c，

当且仅当＝a时等号成立．

相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，

∴≥a＋b＋c.

跟踪训练1　证明：因为x>0，y>0，z>0，

所以>0，

>0，

>0，

所以＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立．

跟踪训练2　解析：(1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元．则

y＝50n－98－

＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102，

∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．

(2)年平均利润为

＝－2≤－2＝12，

当且仅当n＝，即n＝7时上式取等号．

所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．