高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用图文ppt课件

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1.能通过对两个正数的算术平均值与几何平均值的比较抽象出均值不等式.(数学抽象)2.能够利用求差法推导均值不等式,理解均值不等式的几何意义.(逻辑推理、直观想象)3.明确均值不等式的形式及等号成立的条件,会用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.(逻辑推理、数学运算)
1．均值不等式的应用．(重点)2．应用均值不等式求最值问题．(重点、难点)
有只狡猾的狐狸平时总喜欢戏弄其他动物，有一天它遇见老虎，狐狸说：“我发现了2和5可以相等．我这里有一个方程5x－2＝2x－2.等式两边同时加上2，得5x－2＋2＝2x－2＋2，即5x＝2x，等式两边同时除以x，得5＝2”．老虎瞪大了眼睛，一脸的疑惑．
所有周长一定的矩形中，正方形面积最大.
(3)在利用均值不等式具体求最值时，必须满足三个条件： ①各项均为正数；②含变量的各项的和(或积)必须是常数；③当含变量的各项均相等时取得最值，即用均值不等式求某些解析式的最值时，应同时具备三个条件：一正、二定、三相等．这三个条件极易忽略而导致解题失误，应引起足够的重视．
知识点二　几个重要的不等式
1.均值不等式：两个正数的算术平均值不小于几何平均值.2.利用求差法推导均值不等式,理解其几何意义.3.均值不等式的形式及等号成立的条件.4.用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.
题型一 直接应用均值不等式
反思感悟 利用均值不等式求最值时要注意:(1) x,y一定要都是正数.(2) 求积xy最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y最小值时,应看积xy是否为定值.(3) 等号是否能够成立.
分析(1)变形为各项均大于0后利用均值不等式求最值. (2)(3)先对式子变形,凑定值后再利用均值不等式求最值.
反思感悟 通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题:(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提.
【知识点拨】对于证明多项和的不等式，可以考虑先分段应用均值不等式或其变形，然后整体相加(乘)得结论．另外对于与“三项和”有关的不等式证明问题常常将“三项和”拆成“六项和”处理．同时应用均值不等式时要注意看是否符合条件．
分析:先尽可能地让分子的变量项和分母相同(常用于分子变量因子的次数比分母所含变量因子的次数大或相等),然后裂项转化为求和的最值,进而凑定积(即使得含变量的因子x+1的次数和为零,同时取到等号).
分析当求和的最小值时,尽可能凑定积,本题需添6,再减6.
分析：求积的最值(因式中含根号),把变量都放在同一条件下的根号里或者将两边平方去根号,整合结构形式,凑成定和,是解决本题的关键所在.