2021学年第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其应用第2课时导学案

2.2.4　均值不等式及其应用

第2课时　

学习目标

1.理解均值不等式,并能运用均值不等式解决一些较为简单的问题;

2.认识到数学是从实际中来的,体会思考与发现的过程.

自主预习

一、常见的不等式

1.a2+b2≥　　　　　(a,b∈R). 

2.ab≤　　　　　≤(a,b∈R). 

二、均值定理

1.均值定理的内容:　. 

2.均值定理成立的条件:　　　　　、　　　　　、　　　　　. 

课堂探究

1.问题探究(情境引入)

判断以下解题过程的正误

(1)已知x<0,求x+的最值;

解:x+≥2=2,∴原式有最小值2.

(2)已知x≥时,求x2+1的最小值.

解:x2+1≥2=2x,当且仅当x2=1.

即x=1时,x2+1有最小值2x=2.

2.典型例题

题型一　求一元解析式最值

例1　已知x>2,则x+的最小值为　　　　　. 

变式训练　已知x<,求函数y=4x-2+的最大值.

　　题型二　求二元解析式最值

例2　已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值.

变式训练　已知正数x,y满足x+y=1,则+的最小值是　　　　　. 

题型三　均值不等式在实际问题中的应用

例3　(1)已知矩形的面积为100,则这个矩形的长、宽各为多少时,矩形的周长最短?最短周长是多少?

(2)已知矩形的周长为36,则这个矩形的长、宽各为多少时,它的面积最大?最大面积是多少?

例3的结论可以表述为:

要点归纳:

两个正数的积为常数时,　　　　　　. 

两个正数的和为常数时,　　　　　　. 

变式训练　将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2,形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　)

A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m

　　题型四　证明不等式

例4　已知a,b是实数,求证:a2+b2≥2ab.

并说明等号成立的条件.

变式训练　已知a,b∈R,求证:

(1)(a+b)2≥4ab;

(2)2(a2+b2)≥(a+b)2.

核心素养专练

1.(多选)若a,b∈R,且a·b>0,则下列不等式中,恒成立的是(　　)

A.a2+b2≥2ab B.a+b≥2

C.+> D.+≥2

2.求函数y=+x(x>3)的最小值.

3.已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值.

参考答案

自主预习

略

课堂探究

例1　解:x+=x-2++2,

∵x-2>0,

∴x-2++2≥2+2=4+2=6.

当且仅当x-2=2,即x=4时取“=”.

　　变式训练　解:∵4x-5<0,∴y=4x-2+=-+3≤-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时,ymax=1.

例2　解:∵x>0,y>0,+=1,

∴x+y=(x+y)=++10≥6+10=16,

当且仅当=,即x=4,y=12时,上式取等号.

　　变式训练　解:∵x+y=1,

∴+=(x+y)=5++.

∵+≥2=4,

∴5++≥9.

当且仅当即x=,y=时等号成立.

∴=9.

例3　解:(1)设矩形的长与宽分别为x与y,依题意得xy=100.

因为x>0,y>0,所以≥==10,所以2(x+y)≥40.当且仅当x=y时,等号成立,由可知此时x=y=10.

因此,当矩形的长和宽都是10时,它的周长最短,最短周长为40.

(2)设矩形的长与宽分别为x与y,依题意得2(x+y)=36,即x+y=18.

因为x>0,y>0,所以=≥,因此≤9,即xy≤81.当且仅当x=y时,等号成立,

此时x=y=9.

因此,当矩形的长和宽都是9时,它的面积最大,

最大面积为81.

例3的结论表述略

要点归纳:略

变式训练　C

解析:设两直角边分别为a,b,直角三角形的框架的周长为l,

则ab=2,∴ab=4,l=a+b+≥2+=4+2≈6.828(m).

∵要求够用且浪费最少,故选C.

例4　证明:因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,所以a2+b2-2ab≥0,即a2+b2≥2ab,等号成立时,

当且仅当(a-b)2=0,

即a=b.

变式训练　证明:(1)因为(a+b)2-4ab=(a-b)2≥0,所以(a+b)2≥4ab,当且仅当a=b时等号成立.

(2)因为2(a2+b2)-(a+b)2=(a-b)2≥0,当且仅当a=b时等号成立.

核心素养专练

1.AD

2.5

3.4

学习目标

1.能够熟练掌握均值不等式及变形的应用.

2.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题.

自主预习

知识点一　均值不等式及变形

均值不等式的常见变形,试用不等号连接,并说明等号成立的条件.

当a>0,b>0时,有　　 　　 　　 .

当且仅当　　　　　时,以上三个等号同时成立. 

知识点二　用均值不等式求最值

用均值不等式≥求最值应注意:

(1)x,y是否是　　　　　; 

(2)求积xy的最大值时,应看和x+y是否为　　　　　;求和x+y的　　　　　时,应看积xy是否为定值; 

(3)等号成立的条件是否满足.

课堂探究

题型一　利用均值不等式求最值

例1　(1)已知x>2,求x+的最小值;

(2)设0<x<,求函数y=4x(3-2x)的最大值.

跟踪训练1　函数y=2x+(x<0)的最大值为　　　　　. 

例2　(1)若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是　　　　　; 

(2)若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是　　　　　. 

跟踪训练2　已知正数x,y满足x+y=1,则+的最小值是　　　　　. 

题型二　均值不等式在实际问题中的应用

例3　某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6吨,每吨面粉的价格为1 800元,面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元,购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少?

　　跟踪训练3　高三学生在新的学期里,刚刚搬入新教室,随着楼层的升高,上、下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高,已知当教室在第n层楼时,上、下楼造成的不满意度为n,但高处嘈杂声较小,环境较好,因此随着教室所在楼层的升高,环境不满意度降低,设教室在第n层楼时,环境不满意度为,则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为              (　　)

A.2 B.3 C.4 D.8

课堂练习

1.设x>0,则y=3-3x-的最大值是(　　)

A.3 B.3-2

C.-1 D.3-2

2.设a>0,b>0,若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为(　　)

A.8 B.4 

C.1 D.

3.设a,b,c∈R,ab=2,且c≤a2+b2恒成立,则c的最大值是(　　)

A. B.2 

C. D.4

核心素养专练

核心素养之数学建模——一种常见的函数模型y=x+(a>0)

某市实施机动车单双号限行,新能源汽车不在限行范围内,某人为了出行方便,准备购买某种新能源汽车.假设购车费用为14.4万元,每年应交付保险费、充电费等其他费用共0.9万元,汽车的保养维修费为:第一年0.2万元,第二年0.4万元,第三年0.6万元,…,依等差数列逐年递增.

(1)设使用n年该车的总费用(包括购车费用)为f(n),试写出f(n)的表达式;

(2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年年平均费用最少)?年平均费用的最小值是多少?

参考答案

自主预习

略

课堂探究

例1　解:(1)∵x>2,∴x-2>0,

∴x+=x-2++2≥2+2=6,

当且仅当x-2=,即x=4时,等号成立.

∴x+的最小值为6.

(2)∵0<x<,∴3-2x>0,∴y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤2=.

当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成立.

∵∈,∴函数y=4x(3-2x)的最大值为.

跟踪训练1　-4

例2　(1)18　(2)

解析:(1)∵xy=2x+y+6≥2+6,

设=t(t>0),即t2≥2t+6,(t-3)(t+)≥0,∴t≥3,则xy≥18.

当且仅当2x=y且2x+y+6=xy,即x=3,y=6时等号成立,故xy的最小值为18.

(2)根据题意,得1=(x+y)2-xy≥(x+y)2-=(x+y)2,

所以≥(x+y)2,所以x+y≤,

当且仅当x=y>0且x2+y2+xy=1,即x=y=时等号成立.

跟踪训练2　9

解析:∵x+y=1,

∴+=(x+y)=5++.

∵x>0,y>0,∴>0,>0,

∴+≥2=4,∴5++≥9.

当且仅当即x=,y=时等号成立.

∴=9.

例3　解:设该厂每x天购买一次面粉,其购买量为6x吨.

由题意可知,面粉的保管及其他费用为

3×[6x+6(x-1)+6(x-2)+…+6×1]=9x(x+1).

设平均每天所支付的总费用为y元,

则y=[9x(x+1)+900]+6×1 800

=9x++10 809≥2 +10 809=10 989(元),

当且仅当9x=,即x=10时,等号成立.

所以该厂每10天购买一次面粉时,才能使平均每天所支付的总费用最少.

跟踪训练3　B

解析:由题意知,教室在第n层楼时,同学们总的不满意度y=n+≥4,当且仅当n=,即n=2时,不满意度最小,又n∈N+,分别把n=2,3代入y=n+,易知n=3时,y最小.故最适宜的教室应在3楼.

课堂练习

1.D　解析:∵x>0,∴3x+≥2=2,当且仅当x=时取等号,∴-≤-2,则y=3-3x-≤3-2,故选D.

2.B　解析:由题意知3a·3b=3,即3a+b=3,所以a+b=1.

因为a>0,b>0,所以+=(a+b)=2++≥2+2 =4,

当且仅当a=b=时,等号成立.

3.D　解析:∵ab=2,∴a2+b2≥2ab=4.又c≤a2+b2恒成立,∴c≤4.故选D.

核心素养专练

解:(1)由题意,得f(n)=14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2n)+0.9n=14.4++0.9n=0.1n2+n+14.4.

(2)设该车的年平均费用为S万元,则有S= f (n)=(0.1n2+n+14.4)=++1≥2+1=3.4,当且仅当=,即n=12时等号成立,此时S取得最小值3.4.

故这种新能源汽车使用12年报废最合算,年平均费用的最小值是3.4万元.

[素养评析]数学建模是对现实问题进行数学抽象,建立和求解模型的过程,其过程耗时费力,所以建立的模型要有广泛的应用才有价值.本题(2)中所涉及的y=x+(a>0)就是一个应用广泛的函数模型.