人教b版高中数学必修第一册章末质量检测(3)含答案

  章末质量检测(三)　函数

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图像．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是(　　)

解析：由y与x的关系知，在中间时间段y值不变，只有D符合题意．

答案：D

2．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是(　　)

A．y＝　　　B．y＝(x∈(0，＋∞))

C．y＝(x∈N)  D．y＝

解析：在选项A中y可等于零，选项B中y＝1＋＞1，选项C中x∈N，值域不是(0，＋∞)，选项D中|x＋1|>0，即y>0.

答案：D

3．函数f(x)＝－的定义域是(　　)

A．[－1，＋∞)

B．(－∞，0)∪(0，＋∞)

C．[－1,0)∪(0，＋∞)

D．R

解析：要使函数有意义，x的取值需满足

解得x≥－1，且x≠0，

则函数的定义域是[－1,0)∪(0，＋∞)．

答案：C

4．设f(x)＝则f(5)的值是(　　)

A．24     B．21

C．18     D．16

解析：f(5)＝f(f(10))＝f(f(f(15)))＝f(f(18))＝f(21)＝24.

答案：A

5．下列各组函数相等的是(　　)

A．f(x)＝，g(x)＝()2

B．f(x)＝1，g(x)＝x0

C．f(x)＝g(t)＝|t|

D．f(x)＝x＋1，g(x)＝

解析：选项A，B，D中两函数定义域不同，只有C项符合．

答案：C

6．设f(x)＝，则等于(　　)

A．1     B．－1

C.       D．－

解析：f(2)＝＝＝.

f＝＝＝－.

∴＝－1.

答案：B

7．若函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(1)<f(2)<f(3)，则函数f(x)在(0，＋∞)上(　　)

A．是增函数  B．是减函数

C．先增后减  D．单调性不能确定

解析：函数单调性的定义突出了x1，x2的任意性，仅凭区间内有限个函数值的关系，不能作为判断函数单调性的依据，A，B，C错误，D正确．

答案：D

8．设f(x)是区间[－1,1]上的增函数，且f·f<0，则方程f(x)＝0在区间[－1,1]内(　　)

A．可能有3个实数根

B．可能有2个实数根

C．有唯一的实数根

D．没有实数根

解析：由f(x)在区间[－1,1]上是增函数，且f·f<0，知f(x)在区间[－，]上有唯一的零点，∴方程f(x)＝0在区间[－1,1]内有唯一的实数根．

答案：C

9．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则(　　)

A．f(3)<f(－2)<f(1)

B．f(1)<f(－2)<f(3)

C．f(－2)<f(1)<f(3)

D．f(3)<f(1)<f(－2)

解析：由已知<0，

得f(x)在x∈[0，＋∞)上单调递减，

由偶函数性质得f(3)<f(－2)<f(1)，故选A.

答案：A

10．函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数，则a的取值范围为(　　)

A．0<a≤   B．0≤a≤

C．0<a<    D．a>

解析：当a≠0时，函数f(x)的对称轴为x＝－，

∵f(x)在(－∞，4]上为减函数，

∴图像开口朝上，a>0且－≥4，得0<a≤.

当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，显然在(－∞，4]上为减函数．

答案：B

11．如果奇函数f(x)在区间[1,5]上是减函数，且最小值为3，那么f(x)在区间[－5，－1]上是(　　)

A．增函数且最小值为3    B．增函数且最大值为3

C．减函数且最小值为－3  D．减函数且最大值为－3

解析：当－5≤x≤－1时1≤－x≤5，

∴f(－x)≥3，即－f(x)≥3.

从而f(x)≤－3，

又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，

故f(x)在[－5，－1]是减函数．故选D.

答案：D

12．已知函数f(x)＝ax2－2x＋1，若对一切x∈，f(x)>0都成立，则实数a的取值范围为(　　)

A.   B.

C．(1，＋∞)  D．(－∞，1)

解析：因为对一切x∈，f(x)>0都成立，

所以a>＝－＝－2＋1，

又－2＋1≤1，所以a>1，

所以实数a的取值范围为(1，＋∞)．

答案：C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)

13．已知函数f(x)在[－1,2]上的图像如图所示，则f(x)的解析式为________．

解析：当x∈[－1,0]时，y＝x＋1；当x∈(0,2]时，y＝－x，

故f(x)的解析式为f(x)＝

答案：f(x)＝

14．函数f(x)＝－(x＋2)2＋1的单调递减区间为________．

解析：函数f(x)＝－(x＋2)2＋1的图像开口向下，对称轴为直线x＝－2，在对称轴右侧函数单调递减，所以函数f(x)＝－(x＋2)2＋1的单调递减区间为[－2，＋∞)．

答案：[－2，＋∞)

15．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：

若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元．(用数字作答)

解析：高峰时间段电费为50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)．

低谷时间段电费为50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．

故该家庭本月应付的电费为118.1＋30.3＝148.4(元)．

答案：148.4

16．对于定义在R上的函数f(x)，有下述结论：

①若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图像关于点A(1,0)对称；

②若对x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，则f(x)的图像关于直线x＝1对称；

③若函数f(x－1)的图像关于直线x＝1对称，则f(x)为偶函数；

④函数f(1＋x)与函数f(1－x)的图像关于直线x＝1对称．

其中正确结论的序号为________．

解析：若f(x)为奇函数，则f(x－1)＝－f(1－x)，故①正确．

令t＝x－1，则由f(x＋1)＝f(x－1)可知，f(t)＝f(t＋2)，即f(x)＝f(x＋2)，其图像不一定关于直线x＝1对称．例如，函数f(x)＝－(其中[x]表示不超过x的最大整数)，

其图像如图所示，满足f(x＋1)＝f(x－1)，但其图像不关于直线x＝1对称，故②不正确．

若g(x)＝f(x－1)的图像关于直线x＝1对称，则有g(x＋1)＝g(－x＋1)，即f(x)＝f(－x)，∴③正确．

对于④，不妨令f(x)＝x，则f(1＋x)＝1＋x，f(1－x)＝1－x，二者图像关于x＝0对称，故④错误．

答案：①③

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)已知函数f(x)＝－.

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)求f(－1)，f(12)的值．

解析：(1)根据题意知

∴x≥－4且x≠1，

即函数f(x)的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)．

(2)f(－1)＝－＝－3－.

f(12)＝－＝－4＝－.

18．(12分)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图像并写出函数的单调区间．

解析：y＝

即y＝

函数的大致图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．

19．(12分)已知函数f(x)＝

(1)求f(f(f(－2)))的值；

(2)若f(a)＝，求a.

解析：(1)∵－2<－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，

∴f(f(－2))＝f(－1)＝2，

∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋＝.

(2)当a>1时，f(a)＝1＋＝，∴a＝2>1；

当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，∴a＝±∈[－1,1]；

当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝，∴a＝－>－1(舍去)．

综上，a＝2或a＝±.

20．(12分)已知f(x)＝，

(1)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．

(2)求f(x)在[2,6]上的最大值和最小值．

解析：(1)函数f(x)在(1，＋∞)上是减函数．

证明：任取x2>x1>1，

则f(x1)－f(x2)＝－＝，

因为x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0，

所以f(x1)－f(x2)>0，

即f(x1)>f(x2)．

所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数．

(2)由(1)可知f(x)在(1，＋∞)上是减函数，

所以f(x)在[2,6]上是减函数，

所以f(x)max＝f(2)＝1，f(x)min＝f(6)＝，即f(x)min＝，f(x)max＝1.

21．(12分)某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x(吨)．

(1)求y关于x的函数；

(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．

解析：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，此时乙的用水量也不超过4吨，y＝(5x＋3x)×1.8＝14.4x；

当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x≤4且5x>4，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8；

当乙的用水量超过4吨时，即3x>4，显然甲的用水量也超过4吨，y＝(4＋4)×1.8＋(3x－4＋5x－4)×3＝24x－9.6.

所以y＝

(2)由于y＝f(x)在各段区间上均为单调递增，

当x∈时，y≤f<26.4；

当x∈时，y≤f<26.4；

当x∈时，令24x－9.6＝26.4，

解得x＝1.5.

所以甲户用水量为5x＝7.5，付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；

乙户用水量为3x＝4.5吨，付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．

答：甲户用水量7.5吨，付费17.70元；乙户用水量4.5吨，付费8.70元．

22．(12分)已知a是实数，函数f(x)＝2|x－1|＋x－a，若函数y＝f(x)有且仅有两个零点，求实数a的取值范围．

解析：函数f(x)＝2|x－1|＋x－a有且仅有两个零点，即函数y＝2|x－1|＋x的图象与y＝a的图象有且仅有两个交点．

分别作出函数y＝2|x－1|＋x＝与y＝a的图像，如图所示．

由图易知，当a>1时，两函数的图像有两个不同的交点，

故实数a的取值范围是(1，＋∞)