人教b版高中数学必修第一册章末质量检测(2)含答案

  章末质量检测(二)　等式与不等式

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　)

A．a>b⇒ac2>bc2　B.>⇒a>b

C.⇒>    D.⇒a2b<ab2

解析：A项，c＝0时不成立；B项，c<0时不成立；C项，因为a>b，ab<0，所以<，即<，正确；D项，因为a>b，ab>0，所以a·ab>b·ab，即a2b>ab2，不成立．

答案：C

2．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则(　　)

A．a>b   B．a<b

C．a≥b  D．a≤b

解析：a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)

＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b.

答案：C

3．已知b<2a,3d<c，则下列不等式一定成立的是(　　)

A．2a－c>b－3d  B．2ac>3bd

C．2a＋c>b＋3d  D．2a＋3d>b＋c

解析：由于b<2a,3d<c，则由不等式的性质得b＋3d<2a＋c，故选C.

答案：C

4．设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝(　　)

A.  B.

C.      D.

解析：由题意得，A＝{x|1<x<3}，B＝，则A∩B＝.

答案：D

5．若α，β满足－<α<β<，则α－β的取值范围是(　　)

A．－π<α－β<π  B．－π<α－β<0

C．－<α－β<  D．－<α－β<0

解析：从题中－<α<β<可分离出三个不等式：－<α<　①，－<β<　②，α<β　③.根据不等式的性质，②式同乘以－1得－<－β<　④，根据同向不等式的可加性，可得－π<α－β<π.由③式得α－β<0，所以－π<α－β<0.

答案：B

6．设A＝＋，其中a、b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是(　　)

A．A≥B  B．A>B

C．A<B   D．A≤B

解析：因为a，b都是正实数，且a≠b，

所以A＝＋>2＝2，即A>2，

B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2

＝－(x－2)2＋2≤2，

即B≤2，所以A>B.

答案：B

7．已知关于x的不等式x2－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，则b－c的值为(　　)

A．1  B．－1

C．9  D．－9

解析：∵不等式x2－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，

∴x1＝－5，x2＝1是x2－bx＋c＝0的两个实数根，

∴由韦达定理知∴

∴b－c＝－4－(－5)＝1.故选A.

答案：A

8．已知a>0，b>0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋.则α＋β的最小值是(　　)

A．3  B．4

C．5  D．6

解析：因为a＞0，b＞0且a＋b＝1，所以α＋β＝a＋＋b＋＝·(a＋b)

＝1＋1＋1＋＋≥5.当且仅当a＝b＝时，等号成立．

答案：C

9．设a>0，不等式－c<ax＋b<c的解集是{x|－2<x<1}，则a∶b∶c等于(　　)

A．1∶2∶3  B．2∶1∶3

C．3∶1∶2  D．3∶2∶1

解析：∵－c<ax＋b<c，又a>0，

∴－<x<.

∵不等式的解集为{x|－2<x<1}，

∴∴

∴a∶b∶c＝a∶∶＝2∶1∶3.

答案：B

10．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)

A.     B．2

C．2  D．4

解析：方法一　由已知得＋＝＝，且a>0，b>0，∴ab＝b＋2a≥2，∴ab≥2.

方法二　由题设易知a>0，b>0，∴＝＋≥2，即ab≥2.

答案：C

11．若不等式ax2＋4x＋a>1－2x2对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．a≥2或a≤－3  B．a>2或a≤－3

C．a>2            D．－2<a<2

解析：原不等式可化为(a＋2)x2＋4x＋a－1>0，显然a＝－2时不等式不恒成立，所以要使不等式对于任意的x均成立，必须有a＋2>0，且Δ<0，即解得a>2.

答案：C

12．已知m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根，则(m＋2)(n＋2)的最小值是(　　)

A．7   B．11

C．12  D．16

解析：∵m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根，

∴由根与系数的关系，得m＋n＝2t，mn＝t2－2t＋4，

∴(m＋2)(n＋2)＝mn＋2(m＋n)＋4＝t2＋2t＋8＝(t＋1)2＋7.

∵方程有两个实数根，

∴Δ＝(－2t)2－4(t2－2t＋4)＝8t－16≥0，∴t≥2.

∴(t＋1)2＋7≥(2＋1)2＋7＝16，即(m＋2)(n＋2)的最小值是16.

答案：D

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)

13．如果a<b<0，那么下列不等式成立的是________．

①<  ②ab<b2

③－ab<－a2  ④－<－

解析：令a＝－2，b＝－1，则＝－>＝－1，故①不成立；ab＝2>b2＝1，故②不成立．因为a<b<0，所以－ab－(－a2)＝－a(b－a)>0，所以－ab>－a2，故③不成立．选④.

答案：④

14．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件与货价p元/件之间的关系为p＝160－2x，生产x件所需成本为C＝500＋30x元，问：该厂日产量________时，日获利不少于1 300元？

解析：由题意，得(160－2x)x－(500＋30x)≥1 300，

化简得x2－65x＋900≤0，

解之得20≤x≤45.

因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1 300元．

答案：20件至45件

15．已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________．

解析：x2＋y2≥＝.当且仅当x＝y时等号成立．

当x＝0或x＝1时，x2＋y2取最大值，为1.

所以x2＋y2的取值范围是.

答案：

16．若关于x的方程x2＋ax＋a2－1＝0有一正根和一负根，则a的取值范围为________．

解析：由题意可知，Δ>0且x1x2＝a2－1<0，故－1<a<1.

答案：－1<a<1

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)比较x2＋3与3x的大小(其中x∈R)．

解析：因为(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝＋3－2＝2＋≥>0，所以x2＋3>3x.

18．(12分)解不等式组

解析：≤1⇒≤0⇒x∈[－2,6)，

6x2－x－1>0⇒(3x＋1)(2x－1)>0⇒x∈∪，

所以原不等式组的解集为x∈∪.

19．(12分)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}．

(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；

(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.

解析：(1)由题意，知1－a<0且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，

所以解得a＝3.

所以不等式2x2＋(2－a)x－a>0，

即为2x2－x－3>0，

解得x<－1或x>.

所以所求不等式的解集为.

(2)ax2＋bx＋3≥0，

即为3x2＋bx＋3≥0，若此不等式解集为R，

则b2－4×3×3≤0，

所以－6≤b≤6.

20．(12分)正数x，y满足＋＝1.

(1)求xy的最小值；

(2)求x＋2y的最小值．

解析：(1)由1＝＋≥2得xy≥36，当且仅当＝，即y＝9x＝18时取等号，故xy的最小值为36.

(2)由题意可得x＋2y＝(x＋2y)＝19＋＋≥19＋2＝19＋6，当且仅当＝，即9x2＝2y2时取等号，故x＋2y的最小值为19＋6.

21.(12分)

如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．

(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？

解析：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.

设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.

方法一　由于2x＋3y≥2＝2，

∴2≤18，得xy≤，即S≤.

当且仅当2x＝3y时等号成立．

由解得

故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大．

方法二　由2x＋3y＝18，得x＝9－y.

∵x>0，∴0<y<6.

S＝xy＝y＝(6－y)y.

∵0<y<6，∴6－y>0.∴S≤2＝.

当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.

故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使面积最大．

(2)由条件知S＝xy＝24.

设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.

方法一　∵2x＋3y≥2＝2＝24，

∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．

由解得

故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．

方法二　由xy＝24，得x＝.

∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48，

当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.

故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋总长最小．

22．(12分)已知f(x)＝x2－x＋1.

(1)当a＝时，解不等式f(x)≤0；

(2)若a>0，解关于x的不等式f(x)≤0.

解析：(1)当a＝时，

有不等式f(x)＝x2－x＋1≤0，

所以(x－2)≤0，

所以原不等式的解集为.

(2)因为不等式f(x)＝(x－a)≤0，

当0<a<1时，有>a，所以不等式的解集为；

当a>1时，有<a，所以不等式的解集为；

当a＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}．