人教版八年级上册15.1.1 从分数到分式课后复习题

15.1.1从分数到分式  提高卷

一．选择题

1．已知a为整数，且÷为正整数，求所有符合条件的a的值的和（　　）

A．8 B．12 C．16 D．10

【答案】C

【分析】

首先对于分式进行化简，然后根据a为整数、分式值为正整数可求出a的值，最后将a的所有值相加即可．

【详解】

解：﹣÷

＝﹣×

＝﹣

＝

＝，

∵a为整数，且分式的值为正整数，

∴a﹣5＝1，5，

∴a＝6，10，

∴所有符合条件的a的值的和：6+10＝16．

故选：C．

【点睛】

本题考查了分式的混合运算，对分式的分子和分母能够正确分解因式是解题的关键．

2．下列各式中，分式有（    ）个 

，，，，，

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A

【分析】

分母是整式且整式中含有字母，根据这点判断即可．

【详解】

∵中的分母是3，不含字母，

∴不是分式；

∵中的分母是n，是整式，且是字母，

∴是分式；

∵中的分母是a+5，是多项式，含字母a，

∴是分式；

∵中的分母是15，不含字母，

∴不是分式；

∵中的分母是，是整式，含字母x，y，

∴是分式；

∵中的分母是，是整式，含字母a，b，

∴是分式；

共有4个，

故选A．

【点睛】

本题考查了分式的定义，熟练掌握分式构成的两个基本能条件是解题的关键．

3．对x，y定义一种新运算，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：.已知：T(0，1)=3，，若m满足不等式组，则整数m的值为（     ）

A．-2和-1 B．-1和0 C．0和1 D．1和2

【答案】C

【分析】

①已知两对值代入T中计算求出a与b的值； ②根据题中新定义解已知不等式组，再求不等式组的整数解；

【详解】

依题意得

，即：b=3

,即a=1

所以

整理得

解得

所以整数解是0，1

故选：C

【点睛】

此题考查了分式的性质，求一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义法则是解本题的关键．

4．若分式的值为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此求解即可．

【详解】

解：∵分式的值为0，
∴x-3=0且x+4≠0．
解得：x=3．
故选：A．

【点睛】

本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键．

5．已知当时，分式的值为0，当时，分式无意义，则的值为（    ）

A．4 B．－4 C．0 D．

【答案】B

【分析】

根据题意可得，当时，分子，当时，分母，从而可以求得、的值，本题得以解决．

【详解】

解：当时，分式的值为0，当时，分式无意义，

，

解得，，

，

故选B．

【点睛】

本题考查分式的值为零的条件、分式有意义的条件，解答本题的关键是明确题意，求出、的值．

6．如果分式的值为零，那么m的值是（　　）

A．m≠2 B．m=±2 C．m=﹣2 D．m=2

【答案】D

【分析】

直接利用分式的值为零的条件分析得出答案．

【详解】

解：∵分式的值为零，

∴|m|﹣2=0，2m+4≠0，

解得：m=2．

故选：D．

【点睛】

本题考查了分式的值为零的条件，注意分母不能为零是解题的关键．

7．分式的值为，则的取值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

分式值为0，则分子为0，且分母不为0即可

【详解】

要使分式的值为0

则

解得：x=－1

故选：C

【点睛】

本题考查分式方程为0的情况，注意在涉及到分式方程时，我们都需要考虑分母不为0的情况.

8．若a2-3a+1＝0，则a2+的值为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【分析】

先由原等式得a2+1＝3a，利用等式的基本性质两边同除以a，可得，再两边同时平方后得出，即可计算出结果．

【详解】

解：由a2－3a+1＝0得a2+1＝3a，

∵a≠0，

给a2+1＝3a两边同除以a，得，

则，

∴．

故选：C．

【点睛】

本题考查了求分式的值，根据已知求出是解题的关键．

二．填空题

9．当_______时，分式的值为负．

【答案】且

【分析】

分式有意义，x2≠0，分式的值为负数，只有分子x-2＜0，由此求x的取值范围．

【详解】

解：依题意，得

解得x＜2且x≠0，
故答案为：x＜2且x≠0．

【点睛】

本题考查了分式的值．求分式的值，必须同时满足分母不为0．

10．若，则_______．

【答案】5或-1

【分析】

分m-5=0和m-5≠0两种情况分别求解．

【详解】

解：若m-5=0，

∴m=5，

若m-5≠0，

∵，

∴，

∴m=-1或1（舍），

故答案为：5或-1．

【点睛】

本题考查了等式的性质，分式有意义的条件，解题的关键是注意分类讨论．

11．已知x﹣＝1，则的值为_____．

【答案】2

【分析】

将已知等式去分母整理后，代入原式计算即可得到结果．

【详解】

解：∵x﹣＝1

∴x2﹣1＝x，

∴x2＝x+1，

∴原式＝

＝

＝

＝

＝

＝2，

故答案为：2．

【点睛】

此题考查了分式的值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

12．为了满足不同群体的口味偏好，某坚果公司推出原味和奶香味两种口味的袋装坚果，原味每袋有8克核桃仁，8克巴旦木，8克黑加仑；奶香味每袋有16克核桃仁，6克巴旦木，6克黑加仑．每袋坚果的成本为三种坚果成本之和．已知核桃仁每克成本价0.25元，原味坚果每袋的售价为9.45元，利润率为12.5%，奶香味坚果每袋利润率为25%．若这两种袋装的销售利润率达到20%，则该公司销售原味、奶香味两种坚果的数量之比为________．

【答案】44∶63

【分析】

根据已知条件列出表格，算出奶香成本和利润，即可得解；

【详解】

，

∴，

∴奶香成本，

利润，

∴，

∴；

【点睛】

本题主要考查了二元一次方程的应用，准确分析计算是解题的关键．

13．若x2﹣4x＝1，则＝_____．

【答案】

【分析】

先由x2﹣4x＝1，得出x2+＝18，再将要求的代数式分子与分母同时除以x2，然后将x2+＝18代入化简即可得出答案．

【详解】

解：∵x2﹣4x＝1，x≠0，

∴x﹣4＝，

∴x﹣＝4，

∴x2﹣2+＝16，

∴x2+＝18，

∴===.

故答案为：．

【点睛】

此题考查了分式的值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

14．若，则分式的值为__________．

【答案】

【分析】

由可得，再将原分式变形，将分子、分母化为含有的代数式，进而整体代换求出结果即可．

【详解】

解：∵，

∴，即，

∴

=

=

=

=．

故答案为：．

【点睛】

本题考查分式的值，理解分式有意义的条件，掌握分式值的计算方法是解决问题的关键．

15．在代数式中，分式有_________________个．

【答案】1

【分析】

判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．

【详解】

解：是整式，是分式，是整式，即分式个数为1，
故答案为：1

【点睛】

本题主要考查分式的定义，注意数字不是字母，判断分母的关键是分母中有字母.

16．当____________时，分式的值为零．

【答案】-4

【分析】

分式的值为零时,分子等于零,分母不等于零,进行求解即可．

【详解】

解：∵分式的值为零,
∴．
解得：,

所以

当时,分式无意义,故舍去．

综上所述,．
故答案为：-4．

【点睛】

考查了分式的值为零的条件,注意：“分母不为零”这个条件不能少．

17．已知分式，当x＝－3时，该分式没有意义；当x＝－4时，该分式的值为0.试求(m＋n)2019的值．

【答案】-1.

【分析】

根据分式没有意义的条件，可求得m的值，再根据分式的值为0的条件，可求得n的值，代入求出（m+n）2009．

【详解】

∵x+m=0时，分式无意义，

∴x≠-m，

∴m=3，

又因为x-n=0，分式的值为0，

∴x=n，即n=-4，则(m＋n)2019＝[3＋(－4)]2019＝（-1）2019＝－1.

【点睛】

本题要注意：若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

18．已知分式．

（1）当____时，分式的值等于零；

（2）当____时，分式无意义；

（3）当___且___时分式的值是正数；

（4）当____时，分式的值是负数．

【答案】（1）；（2）；（3）；；（4）

【详解】

（1）根据分式值为零的条件可得a2=0，且1-2a≠0，再解即可．

（2）根据分式无意义的条件可得1-2a=0，再解方程即可；

（3）根据分式值为正可得分子分母为同号，因此1-2a>0，且a≠0，再解不等式即可；

（4）根据分式值为负可得分子分母为异号，因此1-2a<0，且a≠0，再解不等式即可．

解：(1)由题意得：a2=0，且1−2a≠0，

解得：a=0，

故答案为a=0；

(2)由题意得：1−2a=0，

解得：a=，

故答案为a=；

(3)由题意得：1−2a>0，且a≠0，

解得：a<且a≠0，

故答案为a<且a≠0.

(4)由题意得：1−2a<0，且a≠0，

解得：a>，

故答案为a>.

19．已知，求的值．

【答案】

【分析】

由可得，再取倒数可得：，即，再求解原代数式的倒数从而可得答案.

【详解】

解：由知，

所以，即．

所以．

故的值为．

【点睛】

本题考查的是利用倒数法求解分式的值，掌握是解题的关键.

20．（1）已知，求分式的值．

（2）已知，求分式的值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）先根据已知等式可得，再代入利用分式的基本性质求值即可得；

（2）先根据已知等式可得，再代入利用分式的基本性质求值即可得．

【详解】

（1），

，

，

，

，

；

（2），

，即，

，

，

，

．

【点睛】

本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的基本性质和整体代入思想是解题关键．

21．（1）已知，求分式的值．

（2）已知：，求的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）方法1利用完全平方公式将变形为，对已知条件进行变形；方法2中通过不断地代入各代数式的值来达到降次的目的，从四次降为二次再降到一次，最终化简求值．

（2） 方法1同时取倒数可得，方程左侧分子、分母同时除以x可得，取倒数后分子、分母同时除以x可得，化为完全平方公式的形式得，将的值代入即可求解；方法2中通过不断地代入各代数式的值来达到降次的目的，从四次降为二次再降到一次，最终化简求值．

【详解】

解：（1）方法1　倒数法 ：

由，得．

化简，得，即，

∴

．

∴．

方法2　 整体法：

由，得，

则，

即，

∴，

∴

．

（2）方法1  倒数法：

由知，

∴即，

∴

，

∴．

方法2  整体法：

由，得，

则，

即，

∴，

∴

．

【点睛】

本题主要考查了倒数、分式化简求值、完全平方公式的运用，理解已知例题解法的步骤是解题关键．

22．求满足下列条件的的值

（1）分式的值为    （2）分式的值为负数

【答案】（1）（2） 

【解析】

【分析】

（1）若x为0，不成立，即分两种情况，x大于和小于0的情况，去绝对值，然后列等式计算.(2)分式的分子恒不大于0，分母恒大于等于1，故分子不能为0，计算得出.

【详解】

解：（1）当x＞0时，=—1，得x=4，当x＜0时，=—1，得x=-4.

（2）根据分析，-x2=0，x=0，得解x≠0.

【点睛】

本题考查分式中未知数的取值，解题的关键根据条件和分式定义求解.

23．当x+y=-2，xy=-4时，求代数式的值．

【答案】4

【解析】

【分析】

我们用整体代的方法求代数式的值.把代数式中的x ＋y换成－ 2，xy换成－4，然后按照有理数运算的计算方法计算出结果就可以了.

【详解】

将x＋y＝－2，xy＝－4代入，.

【点睛】

本题主要考查整体代法，熟悉掌握是关键.

24．观察下列等式：

，，，……

（1）请写出第四个等式：           ；

（2）观察上述等式的规律，猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性．

【答案】（1）4-=42×；（2）第n个等式是，见解析．

【分析】

（1）把前三个等式都看作减法算式的话，每个算式的被减数分别是1、2、3，减数的分母分别是、、，减数的分子分别是，，，差分别是被减数的平方和以减数的分母作分母，以1作分子的分数的乘积；据此判断出第四个等式的被减数是4，减数的分母是8，分子是4的4倍，差等于与的乘积；

（2）根据上述等式的规律，猜想第个等式为：，然后把等式的左边化简，根据左边右边，证明等式的准确性即可．

【详解】

解：（1）4-=42×

（2）第n个等式是．

证明：∵左边= =右边，

∴等式成立．

【点睛】

此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：第个等式为：．

25．为何值时，分式的值为正数？

【答案】且

【分析】

分式的值为正数，则分子，分母同号，分母为正数，且不等于0，则分子需要大于0，解不等式即可判断的取值.

【详解】

分母

分母不为0，则：

要使分式的值为正数，

则

解得：且.

【点睛】

本题主要考查根据题意列不等式.列不等式的关键是分清题目中的数量关系,找出其中的不等关系,从而列出不等式,求解不等式即可使问题得解.

26．阅读下面的解题过程：

已知：，求的值．

解：由知x≠0，所以，即x+=3．

所以=x2+=（x+）2﹣2=32﹣2=7．

故的值为．

该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：

已知：，求的值．

【答案】

【分析】

根据“倒数法”的解题思路即可求出答案．

【详解】

解：∵，且x≠0，

∴，

∴x+﹣3=5，

∴x+=8，

∴=x2++1=（x+）2﹣1=63，

∴=

【点睛】

本题考查分式的运算，解题的关键正确理解题目给出的解答思路，本题属于基础题型．