初中数学人教版八年级上册15.1.2 分式的基本性质测试题

15.1.2分式的基本性质  培优卷

一．选择题

1．下列等式成立的是（    ）

A．＝    B．＝

C．＝    D．＝

【答案】C

【解析】试题分析：根据分式的化简求值，可知：

A. =，故不正确；

B. 已是最简分式，不能化简，故不正确；

C. =，故正确；

D. =-，故不正确.

故选：C.

2．轮船从河的上游A地开往河的下游B地的速度为v1,从河的下游B地返回河的上游A地的速度为v2,则轮船在A、B两地间往返一次的平均速度为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

设从A地到B地的路程为s，那么轮船从A地到B地所用的时间为，从B地返回A地所用的时间为，往返一次总路程为2s，总时间为,所以平均速度为：.

故选D.

3．下列命题中，属于真命题的是（    ）

A．如果，那么 B．是最简分式

C．直角三角形的两个锐角互余 D．不是对顶角的两个角不相等

【答案】C

【分析】

根据有理数的乘法、最简分式的化简、直角三角形的性质、对顶角的概念判断即可．

【详解】

解：A. 如果 ab=0，那么a=0或b=0或a、b同时为0，本选项说法是假命题，不符合题意；

B. ，故不是最简分式，本选项说法是假命题，不符合题意；

C. 直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题，符合题意；

D. 不是对顶角的两个角可能相等，本选项说法是假命题，不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉教材中的性质定理．

4．下列各式从左到右的变形一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据分式的基本性质即可求出答案．

【详解】

A、，成立，故A符合题意；

B、当时，原式不成立，故B不符合题意；

C、，时，，，则，故C不符合题意；

D、，时，，，则，故D不符合题意；

故选：A．

【点睛】

本题考查了分式的基本性质，解题的关键是正确理解分式的基本性质，本题属于基础题型．

5．下列等式中成立的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

A、利用积的乘方法则运算计算，

B、先把除式分母有理化，通分，再把除变乘法，分母再有理化约分即可，

C、用列项法计算即可，

D、利用公式展开合并即可．

【详解】

A. 不成立，

B. ，

=，不成立，

C. 成立，

D. 不成立．

故选择：C．

【点睛】

本题考查积的乘方，二次根式的乘除法，分式的列项法，乘法公式等内容，掌握这些知识，会用它们解决问题．

6．要把分式的值扩大为原来的3倍，下面哪种方法是可行的（    ）

A．、的值都加上3 B．、的值都扩大为原来的3倍

C．的值不变、的值扩大为原来的3倍 D．的值扩大为原来的3倍、y的值不变

【答案】B

【分析】

根据分式的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案．

【详解】

解：A. 、的值都加上3，分式的值不会扩大为原来的3倍    ，不符合题意；

B. 、的值都扩大为原来的3倍，分式的值扩大为原来的3倍，符合题意；

C. 的值不变、的值扩大为原来的3倍，分式的值不会扩大为原来的3倍    ，不符合题意；

D. 的值扩大为原来的3倍、y的值不变，分式的值不会扩大为原来的3倍    ，不符合题意．

故选B．

【点睛】

本题主要考查分式的基本性质，能够正确利用分式的性质变形是解题的关键．

7．若把分式的x、y同时缩小12倍，则分式的值（       ）

A．扩大12倍 B．缩小12倍 C．不变 D．缩小6倍

【答案】C

【分析】

要把x，y同时缩小12倍，即将x，y用 代换，再化简比较即可得到答案；

【详解】

解：把分式的x、y同时缩小12倍，得到：

，

∴分式的值没有改变，

故选：C．

【点睛】

此题考查的是对分式的性质的理解和运用，扩大或缩小n倍，就将原来的数乘以n或除以n．

8．下列各式中，正确的是(　　)

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【分析】

根据分式的基本性质分别进行化简即可.

【详解】

解：A、 ，错误；

B、 ，正确；

C、 ，错误；

D、 ，错误．

故选：B．

【点睛】

本题主要考察了分式的基本性质，分式运算时要同时乘除和熟练应用约分是解题的关键.

二．填空题

9．下列说法：① 若a＋b＋c＝0，则（a＋b）3＋c3＝0；②若a＋b＝0，则|a|＝|－b|，反之也成立；③若（c≠0），则b－c＝a－c；④若|x＋1|＋x－y＋5＝0，当x≤－1时，y是常数；⑤若|x＋1|＋x－y＋5＝0，则y≥x，其中正确的有_________

【答案】①③④⑤

【分析】

由乘方的运算，绝对值的意义，分式的基本性质，分别进行判断，即可得到答案．

【详解】

解：① 若a＋b＋c＝0，则a＋b＝，则（a＋b）3＋c3＝0；故①正确；

②若a＋b＝0，则|a|＝|－b|；但反之不成立；故②错误；

③若（c≠0），则b=a，则b－c＝a－c；故③正确；

④若|x＋1|＋x－y＋5＝0，当x≤－1时，

，则y是常数；故④正确；

⑤若|x＋1|＋x－y＋5＝0，

，

则y≥x，故⑤正确；

故答案为：①③④⑤．

【点睛】

本题考查了乘方的运算，绝对值的意义，分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行判断．

10．为落实习总书记“全面推进乡村振兴”的发展理念，重庆某山区扶贫办决定积极发展经济作物，准备将一块土地分成，，三个区域分别来种植平菇、香菇和蘑菇．工人将三个区域的占地面积划分完毕后，发现将原区20%的面积错划分给了区，而原区50%的面积错划分给了区，区面积未出错，造成现区的面积占，两区面积和的比例达到了30%．为了协调三个区域的面积占比，工人重新调整三个区的面积，将区面积的25%分两部分划分给现在的区和区若调整结束后，，，三个区域的面积比变为，那么工人调整时从区划分给区的面积与三个区域总面积的比为______．

【答案】．

【分析】

设计划分成A，，三个区域的面积分别为,b,c，根据原区20%的面积分给B区，原区50%的面积错划分给了区，造成现区的面积占，两区面积和的比例达到了30%．列方程b+20%-50%b=30%(+b)，可得=2b，A区面积 2.1b，区的面积0.9b，由2（A区面积+B区面积）=C区面积，列方程2(2.1b+0.9b+25%c)=c-25%c，解得c=8b，设C区面积的25%分别给A 区的面积m, 划分给区面积为2b-m，A，两个区域的面积比变为可得m=即可．

【详解】

解:设计划分成A，，三个区域的面积分别为，b，c，

原A区20%的面积分给B区，原区50%的面积错划分给了A区，造成现区的面积占A，两区面积和的比例达到了30%．

∴b+20%-50%b=30%(+b)，

解得=2b，

将原A区20%的面积错划分给了区，而原区50%的面积错划分给了A区，

-20%+50%b=0.8+0.5b=2.1b，

造成现区的面积b+20%-50%b=0.9b,

将区面积的25%分两部分划分给现在的A区和区, A，，三个区域的面积比变为，

2（A区面积+B区面积）=C区面积，

∴2(2.1b+0.9b+25%c)=c-25%c，

解得c=8b，

最后区划后面积为:c-25%c=6b，

原C区面积的25%为2b，

设C区面积的25%分别给A 区的面积m, 划分给区面积为2b-m，

∵A，两个区域的面积比变为，

由题意得2.1b+m=2（0.9b+2b-m），

解得m=，

工人调整时从区划分给区的面积与三个区域总面积的比为．

故答案为．

【点睛】

本题考查列代数式，一元一次方程的应用，关键是理解题意找出等量关系，正确列出一元一次方程．

11．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为，-1的差倒数为，已知＝5，是差倒数，是差倒数，是差倒数，以此类推…，的值是_____．

【答案】5．

【分析】

根据题意，依次计算得、、，结合，找到其中的规律，以此类推，可求得的值．

【详解】

∵a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，

∴

∴

∴

…

∵2020÷3＝673…1

∴第2020个数与第1个数相等

∴a2020＝5．

故答案为：5．

【点睛】

本题考查了分式、实数计算规律的知识；解题的关键是熟练掌握分式和实数计算规律性问题的性质，从而完成求解．

12．若，．则的值为______

【答案】

【分析】

先由题意2x−y+4z=0 ，4x+3y−2z=0，得出用含x的式子分别表示y，z，然后带入要求的式中，化简便可求出.

【详解】

2x-y+4z= 0①，4x+3y- 2z= 0②，

将②×2得: 8x+ 6y-4z=0③．

①+③得: 10x+ 5y= 0，

∴y= -2x，

将y= - 2x代入①中

得:2x- (-2x)+4z=0

∴z=-x

将y= -2x，z=-x，代入上式

=
 

=
 

=

=
 

故答案为：

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据题目，得出用含x的式子表示y，z.本题较难，要学会灵活化简.

13．6月18日晚，苏宁易购发布618全程战报：从6月1日到18日晚6点，苏宁依托线上线下全场景优势，逆势增长.经调查，苏宁易购线上有甲乙两家在销售华为A手机、华为B电脑和华为C耳机.已知每部A手机的利润率为40%，每台B电脑的利润率为60%，每副C耳机的利润率为30%，甲商家售出的B电脑和C耳机的数量都是A手机的数量的一半，获得的总利润为50%，乙商家售出的A手机的数量是B电脑的数量的一半，售出的C耳机的数量是B电脑的数量的，则乙商家获得的总利润率是___________.

【答案】56%

【解析】

【分析】

设A手机的成本价为a，B电脑的成本价为b，C耳机的成本价为c，甲商家售出A手机2x部，则售出B电脑x台，C耳机x副，乙商家售出A手机y部，则售出B电脑2y台，C耳机副，根据甲商家的数据可得b=2a+2c，继而根据利润率公式列式计算乙商家的即可得.

【详解】

设A手机的成本价为a，B电脑的成本价为b，C耳机的成本价为c，甲商家售出A手机2x部，则售出B电脑x台，C耳机x副，乙商家售出A手机y部，则售出B电脑2y台，C耳机副，

由甲商家的总利润为50%，则有

40%•a•2x+60%•b•x+30%•c•x=50%(2xa+bx+cx)，

整理得，b=2a+2c，

则乙商家的总利润率为：

=

=

=

=

=56%，

故答案为：56%.

【点睛】

本题考查了销售问题——商品的利润率，弄清题意，理清各量间的关系，掌握运算技巧是解题的关键.

14．在分式中，最简分式有______个．

【答案】1

【分析】

根据最简分式的定义对各个分式逐一判断即可得．

【详解】

解：

是最简分式，故有2个.

故答案为：2

【点睛】

本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．本题的关键是找出分子分母的公因式．

15．化简 = ___.

【答案】

【分析】

先对分子进行因式分解，再约分，化为最简分式即可.

【详解】

=

.

故答案是：.

【点睛】

本题考查了分式的化简，解题关键是先对分子进行因式分解，使用分子和分母有公共因式，再约分，化成最简分式.

16．如果，那么的值是______．

【答案】0

【分析】

先将分式方程每一部分的分母通分，然后观察方程的左边和右边，使方程两边的分子部分相同即可解决.

【详解】

解：

所以，

故答案是：0

【点睛】

本题考查了分式通分，将方程两边变为同分母，然后比较分子得出结论是解决本题的关键.

17．已知实数a、b、c满足；计算：.

【答案】8或-1

【分析】

先设=k，易得b+c=ka①，a+c=kb②，a+b=kc③，①+②+③可得2（a+b+c）=k（a+b+c），若a+b+c≠0，则k=2，再把k的值代入所求分式可求一个答案；而当a+b+c=0，则有a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，再整体代入所求分式中又可求另一答案．

【详解】

解：设=k，则
b+c=ka①，a+c=kb②，a+b=kc③，
①+②+③得，2（a+b+c）=k（a+b+c），
当a+b+c≠0，则k=2，
∴==k3=8；
当a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，
∴==-1．
故答案是8或-1．

【点睛】

本题考查了比例的性质．解题的关键是分情况讨论问题，注意整体代入．

18．已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是a、b、c，满足，且点C到点A的距离为1个单位长度．

（1）根据题意，求出c的值为__________

（2）若点C在线段AB上，动点M、N两点分别同时从A、B出发，向x轴正半轴运动．M、N的运动速度分别为4个单位长度/秒、5个单位长度/秒，记点M运动的时间为t秒．当M点运动至点B时，点P才从C点出发，并以10个单位长度/秒的速度向x轴正半轴运动．在运动过程中，如果点Q为线段MN的中点．

①请问的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．

②当点Q到点Р的距离是点Q到点B的距离的倍时，求时间t的值．

【答案】（1）﹣9或﹣7；（2）①不变，；②

【分析】

（1）根据非负数的性质可求出a、b，然后根据点C到点A的距离为1个单位长度即可求出点C表示的数，进而可得c的值；

（2）①先根据题意画出图形，然后即可依次用含t的代数式表示出AN、MN和CQ，再代入原式化简即得结果；

②先求出M点运动至点B时的用时，然后分点P在点Q左侧与点P在点Q右侧两种情况，分别用含t的代数式表示出PQ与QB，进而可得关于t的方程，解方程即得结果．

【详解】

解：（1）因为，

所以a+8=0，b－12=0，

所以a=﹣8，b=12；

所以点A表示的数是﹣8，

因为点C到点A的距离为1个单位长度，

所以点C表示的数是﹣9或﹣7，即c=﹣9或﹣7；

故答案为：﹣9或﹣7；

（2）的值不会发生变化，且；理由如下：

因为点C在线段AB上，所以点C表示的数是﹣7，

如图，根据题意可得：AB=20，CB=19，AM=4t，BN=5t，

所以AN=20+5t，MN=AN－AM=20+5t－4t=20+t，

因为点Q为MN的中点，所以，

所以，

所以；

②M点运动至点B时用了20÷4=5秒，

当点P在点Q左侧时，，，

根据题意得：，即，解得：；

当点P在点Q右侧时，，，

由得，解得：（舍去）；

综上，当点Q到点Р的距离是点Q到点B的距离的倍时，．

【点睛】

本题考查了数轴、非负数的性质、数轴上两点间的距离、一元一次方程的应用以及分式的化简等知识，综合性较强、具有相当的难度，正确理解题意、灵活应用相关知识和数形结合思想是解题的关键．

19．    若＝＝≠0，求的值．

【答案】

【详解】

试题分析：根据比例的基本性质，设出参数，直接代入可求解.

试题解析：设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k≠0，

∴

＝

＝.

20．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．

例如：，像这样的分式是假分式；像，这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如：；，解决下列问题：

（1）将分式化为整式与真分式的和的形式为：         （直接写出结果即可）

（2）如果分式的值为整数，求的整数值

【答案】（1）；（2）、、0、

【分析】

（1）由“真分式”的定义，可仿照例题得结论；

（2）先把分式化为真分式，再根据分式的值为整数确定的值．

【详解】

解：（1）

故答案为：；

（2）原式

因为的值是整数，分式的值也是整数，

所以或，

所以、、0、．

所以分式的值为整数，的值可以是：、、0、．

【点睛】

本题考查了利用分式的性质对分式进行变形．解决本题的关键是理解真分式的定义．

21．    已知＋＝3，求的值．

【答案】18

【详解】

试题分析：分子分母同除以xy，然后整体代入即可求值.

试题解析：根据分式的特点，

分子、分母同时除以xy得

原式=

＝18.

22．已知=,=1，求的值.

【答案】

【解析】

试题分析：

先将式子： 化简，再由“=,=1”求得“”及“”的值代入化简后的式子计算即可.

试题解析：

，

∵ x=，=1，

∴ ,

∴x+y=()+()=4，

∴原式=.

点睛：本题将“=”化简后，结合“=1”求出“y”的值，并进一步求得“x+y”的值，是求得“”的值的关键.

23．    已知＝，求2a－3b的值．

【答案】0

【详解】

试题分析：根据分式的基本性质，约去分子分母的公因式，得到a、b的关系，然后代入求值即可.

试题解析：原式＝＝，

∴2a＝3b，

∴2a－3b＝0.

24．已知：求证：

【答案】证明见解析

【分析】

要证明，就要证明，即，因x、y为指数，故运用同底数幂乘法让左右两边同时乘以，然后再利用已知等式进行变形转化即可得到结果.

【详解】

证明：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴，（x、y均不可能为0）

∴，即.

【点睛】

本题考查同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的应用，将要证明的等式进行转化，出现指数相加、相乘是解题的关键.

25．化简．

【答案】

【分析】

先将分子、分母因式分解，再找出分子、分母的最大公因式并约去．

【详解】

解：原式

【点睛】

本题主要考查了分式的约分，能彻底分解因式是解题的关键．本题考查了拆项分组分解法，难度较大．

26．挑战自我，观察下面的一列数：，，，    ……

（1）用只含一个字母的等式表示这一列数的特征；

（2）利用（1）题中的规律计算：

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）根据上述通分计算的过程，发现分母正好相差是1，所以结果中的分子应是1，即可得出结论；

（2）先将各个分数写成的形式，再按照进行拆分，然后计算即可求解．

【详解】

解：（1）

（2）

=

=

=

【点睛】

本题考查了分式的通分，解答此题，应注意观察分数的特点，根据特点，对分数进行拆分，达到简便计算的目的．