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人教版八年级上册14.1.4 整式的乘法课时训练
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这是一份人教版八年级上册14.1.4 整式的乘法课时训练，文件包含1414整式的乘法提高卷解析版docx、1414整式的乘法提高卷原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。
14.1.4整式的乘法 提高卷
一、单选题
1．在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD比AB大3时，S2﹣S1的值为（ ）
A．3a B．3b C．3a﹣b D．3b﹣a
【答案】B
【分析】
利用割补法表示出和，然后作差，利用整式的混合运算法则进行化简即可得出结果．
【详解】
解：∵，
，
∴
∵AD比AB大3，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查列代数式和整式的混合运算，解题的关键是掌握利用割补法表示阴影部分面积以及整式的运算法则．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据幂的运算性质判断即可；
【详解】
，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确；
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了幂的运算性质，准确判断是解题的关键．
3．如图，正方形与正方形，点在边上，已知正方形的边长，正方形的边长为，用、表示下列面积，与相交于点，下列各选项中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由题意，分别求出选项中图形的面积，然后进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，
∵正方形的边长，正方形的边长为，
∴，，
∴；故A正确；
∵，
∵，，
∴；
∴；故B正确；
∵，
∴，
∴；故D正确；
∵，，
∵，且没有确定的值，
∴与不一定相等；故C不正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了整式的加减运算，几何图形的面积，列代数式表示面积，解题的关键是正确的表示出每个图形的面积，从而进行判断．
4．下列计算中正确的是（ ）
A．a·a2＝a2 B．2a·a＝2a2 C．(2a2)2＝2a4 D．6a8÷3a2＝2a4
【答案】B
【分析】
直接利用幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、单项式乘单项式运算法则以及单项式除单项式运算法则分别判断得出答案．
【详解】
解：A． a·a2＝a3，此选项错误，不符合题意；
B．2a·a＝2a2，此选项正确，符合题意；
C．(2a2)2＝4a4，此选项错误，不符合题意；
D．6a8÷3a2＝2a6，此选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了幂的乘方，积的乘方，单项式乘单项式以及单项式除单项式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的险滩、积的乘方以及幂的乘方运算法则对各项进行计算判断即可得到答案．
【详解】
解：A. ，故原选项计算错误，不符合题意；
B. 与不能合并，故原选项计算错误，不符合题意；
C. ，计算正确，符合题意；
D. ，故原选项计算错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的险滩、积的乘方以及幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
6．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，小明从图中得到 4个代数恒等式，其中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据已知条件，求出相关四边形的面积即可．
【详解】
如图可知四边形ABDC的面积是，故选项A错误；
如图可知四边形ABFE的面积是，故选项B错误；
如图可知四边形AIKG的面积是，故选项C错误；
如图可知四边形ABHG的面积是，故选项D正确；
故选：D
【点睛】
考核知识点：整式的乘法．根据整式乘法求出四边形面积是关键．
7．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
A.根据同类项定义解题；
B.根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解题；
C.根据幂的乘方法则解题；
D.根据同底数幂相除，底数不变，指数相减解题.
【详解】
解：A. 与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故A选项不正确，不符合题意；
B. ，故B选项正确，符合题意；
C. ，故C选项不正确，不符合题意；
D. ，故D旋转不正确，不符合题意．
故选B.
【点睛】
此题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据合并同类项、同底数幂乘除法、幂的乘方的性质，对各个选项分别计算，即可得到答案．
【详解】
和不是同类项，不可直接相加减，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了整式运算的知识；解题的关键是熟练掌握合并同类项、同底数幂乘除法、幂的乘方的性质，从而完成求解．
二、填空题
9．古希腊数学家把下列一组数：1、3、6、10、15、21、…叫做三角形数，这组数有一定的规律性，如果把第一个三角形数记为，第二个三角形数记为，…，第n个三角形数记为，那么的值是_____（用含n的式子表示）．
【答案】
【分析】
此题注意对数据（数列）的分析：（1）数据依次差2，3，4，5，6，…；（2）数据扩大2倍，形成新数据：2，6，12，20，30，42，…，可以依次改成相邻两个正整数的乘积．这样可以得到第n个数的规律．
【详解】
将条件数据1、3、6、10、15、21、…，依次扩大2倍得到：2，6，12，20，30，42，…，
这组新数据中的每一个数据可以改写成两个相邻正整数的乘积，即2＝1×2，6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，…，
∴，（n≥1）．
所以=．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了三角形数的规律，掌握扩大2倍法寻找规律的方法是解题的关键．
10．旧知回顾：在七年级学习“平方根”时，我们会直接开方解形如的方程（解为）．解题运用：方程解为_________．
【答案】，．
【分析】
先将原方程化为，即可类比题目中解方程的方法求解即可．
【详解】
解：，
，
合并同类项，得，
移项，得，
解得，．
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了利用平方根解方程及整式的乘法运算，掌握平方根的定义是解答此题的关键．
11．对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，．当，，则__________；当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是__________．
【答案】
【分析】
根据定义的新运算F，将，代入，得到关于m、n的二元一次方程组，求出m、n的值，代回原式即可求得；由列出关系式，整理后即可确定出m、n的关系式．
【详解】
解：①根据题意得，，
，
整理得：，解得：，
则
，
②由得
，
整理得：，
当时，对任意有理数，都成立，
即；
故答案为：；．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，二元一次方程组的应用等知识点，弄清题中的新定义是解本题的关键．
12．老师在黑板上写出三个算式：，，，王华同学接着又写了两个具有同样规律的算式：，请你再写出两个具有上述规律的算式：_____________ ，__________；用文字写出上述算式反应的规律_________．
【答案】 任意两个奇数的平方差等于8的倍数
【分析】
观察三个算式，发现两个奇数的平方差等于8的倍数，据此解答即可求解．
【详解】
解：，，，
具有上述规律的算式：，；
用文字写出上述算式反应的规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
故答案为：；；任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
【点睛】
本题考查了根据式子寻找数学规律，认真分析各式的特点，找出了式子的规律是解题关键，一般寻找规律时从式子中不变的量和变化的量两个方面入手．
13．若，，则的值是________．
【答案】27
【分析】
根据同底数幂的乘法和除法逆运算，再利用幂的乘方逆运算将分子和分母化为已知有关的式子，然后代入进行计算即可得解.
【详解】
∵，，
，
故答案为：27.
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握相关计算法则是解决本题的关键.
14．如图，现有A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，若要拼一个长为（3a+b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要___张C类卡片．
【答案】7
【分析】
用长乘以宽，列出算式，根据多项式乘以多项式的运算法则展开，然后根据A、B、C类卡片的形状可得答案．
【详解】
解：∵（3a+b）（a+2b）
＝3a2+6ab+ab+2b2
＝3a2+7ab+2b2，
∴若要拼一个长为（3a+b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类3张，B类2张，C类7张．
故答案为：7．
【点睛】
此题利用图形的变换结合长方形的面积考查多项式的乘法，难度一般．
15．若，则的值为____．
【答案】3
【分析】
由多项式乘多项式计算得x2＋（b﹣1）x﹣b＝x2＋ax﹣2，根据对应系数相等即可得出答案．
【详解】
解：∵（x﹣1）（x＋b）＝x2＋bx﹣x﹣b＝x2＋（b﹣1）x﹣b，
∴x2＋（b﹣1）x﹣b＝x2＋ax﹣2，
∴b﹣1＝a，﹣b＝﹣2，
解得：b＝2，a＝1，
∴a＋b＝3，
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则进行计算是解决本题的关键．
16．有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是7，可发现第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，第3次输出的结果是3，依次继续下去…，第2013次输出的结果是_______．
【答案】3
【分析】
由输入为7是奇数，得到输出的结果为，将偶数12代入代入计算得到结果为6，将偶数6代入计算得到第3次的输出结果，依此类推得到一般性规律，即可得到第2013次的结果．
【详解】
解：根据题意得：开始输入的值是7，可发现第1次输出的结果是；
第2次输出的结果是；
第3次输出的结果是；
第4次输出的结果为；
第5次输出的结果为；
第6次输出的结果为；
第7次输出的结果为；
第8次输出的结果为；
归纳总结得到输出的结果从第2次开始以6，3，8，4，2，1循环，
，
则第2013次输出的结果为3．
故答案为：3．
【点睛】
此题考查了代数式求值，弄清题中的规律是解本题的关键．
三、解答题
17．（1）填空：
_________；
__________；
__________________．
（2）猜想：______（其中为正整数，且）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：
①；
②．
【答案】（1）a2-b2；a3-b3；a4-b4；（2）an-bn；（3）①4094；②
【分析】
（1）利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）利用得出的规律将原式变形，计算即可求出值．
【详解】
解：（1）（a-b）（a+b）=a2-b2；
（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3；
（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4-b4；
（2）猜想：（a-b）（an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1）=an-bn；
（3）①
=
=
=
=
=4094；
②
=
=
=
=
=
=
【点睛】
此题考查了平方差公式，多项式乘多项式以及数字的变化规律，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
18．如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的长方形荒地，政府准备在此建个休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，设宽为x米．中间的三个长方形区域（空白部分）将铺设塑胶地面作为运动场所，三个长方形其中一边均为a米．
（1）用含x的代数式表示a，则________米；
（2）用含x的代数式表示塑胶场地的总面积（空白部分）并化简；
（3）若米，塑胶场地的造价为每平方米80元，请计算塑胶场地的造价．
【答案】（1）；（2）；（3）194400元
【分析】
（1）根据大长方形的长为60米列出方程求得a的表达式；
（2）可以把阴影部分拼接在一块，空白部分拼接在一块，从而列出代数式，化简即可；
（3）当x=2时，先计算出塑胶场地的面积，再计算造价．
【详解】
解：（1）根据题意得：，
，
故答案为：；
（2）
；
（3）当时，
原式
（平方米），
（元，
答：塑胶场地的造价为194400元．
【点睛】
本题考查了列代数式，代数式求值，其中列代数式是关键．
19．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【答案】（1）1；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【分析】
（1）先计算幂的乘方，再利用同底数幂的除法法则进行运算即可；
（2）先计算积的乘方运算，再利用单项式除以单项式的法则运算即可；
（3）利用单项式除以单项式的法则进行运算即可；
（4）先计算积的乘方运算，再计算单项式乘以单项式，最后计算单项式除以单项式即可；
（5）利用多项式除以单项式的法则进行运算即可；
（6）利用多项式除以单项式的法则进行运算即可；
【详解】
解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
【点睛】
本题考查的是幂的乘方运算，同底数幂的除法，单项式除以单项式，多项式除以单项式，掌握“多项式除以单项式的法则：把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加”是解题的关键.
20．阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如就可以用如下的图形面积来表示．
（1）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：；
（2）请仿照上述方法另写出一个含有a，b的代数恒等式（要求不同于上述多项式），并画出与之对应的几何图形．
【答案】（1）见解析；（2）（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2，画图见解析
【分析】
（1）设计一个长方形的长为a+3b，宽为a+b的大长方形即可；
（2）设计一个长方形的长为2a+b，宽为a+2b的大长方形即可．
【详解】
解：（1）如图所示．
（2）如图所示：（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
21．一块原长分别为a、b（）的长方形，一边增加1，另一边减少1
（1）当时，变化后的面积是增加还是减少？
（2）当时，有两种方案，第一种方案如图1，第二种方案如图2，请你比较这两种方案，确定哪一种方案变化后的面积比较大．
【答案】（1）减小（2）方案2变化后面积大
【分析】
（1）根据题意得出算式，求出两式的差，再判断即可；
（2）求出两种方案的算式，求出两式的差，再判断即可．
【详解】
解：（1）设原来长方形的面积是S前，变化后的长方形的面积是S后，
根据题意得：S前＝ab，S后＝（a＋1）（b−1）＝ab＋b−a−1，
∴S后−S前＝ab＋b−a−1−ab＝b−a−1，
∵a＝b，
∴b−a−1＝−1＜0，
∴S后＜S前，
∴变化后面积减小了．
（2）方案1，S1＝（a＋1）（b−1）＝ab−a＋b−1，
方案2，S2＝（a−1）（b＋1）＝ab＋a−b−1，
∴S1−S2＝−2a＋2b＝−2（a−b），
∵a＞b，
∴S1−S2＜0，
∴方案2变化后面积大．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算的应用，关键是能根据题意列出算式．
22．探究规律，解决问题：
（1）化简：___________，_________．
（2）化简：，写出化简过程．
（3）化简：____________．（n为正整数，为项多项式）
（4）利用以上结果，计算的值．
【答案】（1），； （2），化简过程见解析；（3）；（4）．
【分析】
（1）根据平方差公式、多项式乘多项式的运算法则进行计算即可；
（2）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可；
（3）根据（1）、（2）得出的规律可直接得到答案；
（4）根据（3）的规律可直接代数进行计算即可．
【详解】
（1），
．
（2）
=
=．
（3）
=
=．（n为正整数，为项多项式）
（4）
=
=．
∴．
【点睛】
本题主要考查多项式乘以多项式的法则．多项式乘以多项式的法则，可表示为，注意不要漏项，漏字母．
23．化简求值
，其中，．
【答案】，-12
【分析】
原式中含有括号，则化简时先去括号，然后合并同类项得到最简式，将x，y的值代入最简式即可得到原式的值．
【详解】
解：
当，时
原式
【点睛】
本题考查了去括号法则，合并同类项的法则，去括号时要注意符号的变化，也是容易出错的地方．
24．已知：(x－1)(x＋1)＝x2－1
(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1
(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1
(x－1)(x4＋x3＋x2＋x＋1)＝x5－1
（1）当x＝3时，(3－1)×(33＋32＋3＋1)＝________；
……
（2）试求：25＋24＋23＋22＋2＋1的值．
（3）判断22021＋22020＋22019＋……＋22＋2＋1的值的个位数是________；
【答案】（1）80；（2）63；（3）3
【分析】
（1）把x=3直接代入进行计算即可；
（2）根据前几个变化规律，将x=5时的等式恒等变形即可得出答案；
（3）找到变化规律，再恒等变形，依次分析2的n次方的个位数字变化规律即可求解．
【详解】
解：（1）当x=3时，(3－1)×(33＋32＋3＋1)=34﹣1=80，
故答案为：80；
（2）根据题意，(x－1)(x5+x4＋x3＋x2＋x＋1)＝x6－1，
当x=2时，(2－1)(25+24＋23＋22＋2＋1)＝26－1=63，
故25＋24＋23＋22＋2＋1=63；
（3）由题意知，
原式=（2﹣1）×（22021＋22020＋22019＋……＋22＋2＋1）=22022﹣1，
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，……，且2022=505×4+2，
∴22022的个位数与22的个位数相同，即为4，
∴22022﹣1的个位数为3，
即22021＋22020＋22019＋……＋22＋2＋1的值的个位数是3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查有理数的乘方、整式乘法的规律性问题、数字类的规律探究，根据已知等式，正确归纳出一般变化规律是解答的关键．
25．学校有块长方形花坛，空白部分铺上草坪，中间阴影部分修建一座雕塑（尺寸如图所示，单位：米）
（1）求铺设草坪部分的面积？（用a，b的代数式表示，结果要化简）
（2）当米，米时，求草坪的面积．
【答案】（1）a2＋5ab＋3b2；（2）87平方米
【分析】
（1）根据题意表示出剩下草坪的面积，再根据整式的运算法则化简即可；
（2）将a＝5，b＝2代入（1）中所求代数式计算即可．
【详解】
解：（1）由题意得：
铺设草坪部分的面积＝（2a＋b）（a＋2b）－（a2－b2）
＝2a2＋ab＋4ab＋2b2－a2＋b2
＝a2＋5ab＋3b2，
（2）由（1）得：铺设草坪部分的面积为a2＋5ab＋3b2，
当a＝5，b＝2时，
a2＋5ab＋3b2＝52＋5×5×2＋3×22
＝25＋50＋12
＝87，
答：铺设草坪部分的面积为87平方米．
【点睛】
此题考查了列代数式以及代数式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解本题的关键．
26．阅读材料：对于任意一个三位正整数，如果满足百位上的数字与十位上的数字之和恰好等于个位上的数字，我们称这个数为“和数”，并把各位数字的平方和记为．例如：正整数134，因为，所以134是“和数”，．
（1）求证：任意一个“和数”与它各位数字之和的差能被9整除；
（2）若“和数”与它各位数字之和能被7整除，且为偶数，求满足条件的所有“和数”，并求的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）314或156或628，最小值为26
【分析】
（1）用字母表示出一个“和数”，按题干要求列出代数式，提取公因式后可以说明命题正确；
（2）设“和数”M=100a+10b+a+b，则①a+b≤9；由于M为偶数，可得②a，b同为奇数或同为偶数；因为M与它各位数字之和能被7整除，可得③2a+b能被7整除，a，b同时满足以上三个条件，于是可求得a，b的值，结论可求．
【详解】
解：（1）设“和数”的百位数字为a，十位数字为b，则个位数字为（a+b），
则这个“和数”为：100a+10b+a+b．
∴和数”与它各位数字之和的差为：
100a+10b+a+b-（a+b+a+b）
=100a+10b+a+b-a-b-a-b
=99a+9b
=9（11a+b）．
∴任意一个“和数”与它各位数字之和的差能被9整除；
（2）设M的百位数字为a，十位数字为b，则个位数字为（a+b），
∴M=100a+10b+a+b，其中a，b为正整数，a+b≤9．
∵M为偶数，
∴a+b为偶数．
∴a，b同为奇数或同为偶数．
∴“和数”M与它各位数字之和为：
100a+10b+a+b+（a+b+a+b）
=103a+13b
=105a+14b-2a-b
=7（15a+2b）-（2a+b）．
∵“和数”M与它各位数字之和能被7整除，
∴2a+b能被7整除．
∴2a+b=7或14．
∴a=3，b=1或a=1，b=5或a=6，b=2．
∴“和数”M为：314或156或628．
∵P（314）=32+12+42=26，
P（156）=12+52+62=62，
P（628）=62+22+82=104，
∴P（314）＜P（156）＜P（628）．
∴P（M）的最小值为26．
【点睛】
本题主要考查了有理数的混合运算，列代数式，有理数的整除特性．本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义和公式并熟练运用是解题的关键．
14.1.4整式的乘法 提高卷
一、单选题
1．在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD比AB大3时，S2﹣S1的值为（ ）
A．3a B．3b C．3a﹣b D．3b﹣a
【答案】B
【分析】
利用割补法表示出和，然后作差，利用整式的混合运算法则进行化简即可得出结果．
【详解】
解：∵，
，
∴
∵AD比AB大3，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查列代数式和整式的混合运算，解题的关键是掌握利用割补法表示阴影部分面积以及整式的运算法则．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据幂的运算性质判断即可；
【详解】
，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确；
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了幂的运算性质，准确判断是解题的关键．
3．如图，正方形与正方形，点在边上，已知正方形的边长，正方形的边长为，用、表示下列面积，与相交于点，下列各选项中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由题意，分别求出选项中图形的面积，然后进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，
∵正方形的边长，正方形的边长为，
∴，，
∴；故A正确；
∵，
∵，，
∴；
∴；故B正确；
∵，
∴，
∴；故D正确；
∵，，
∵，且没有确定的值，
∴与不一定相等；故C不正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了整式的加减运算，几何图形的面积，列代数式表示面积，解题的关键是正确的表示出每个图形的面积，从而进行判断．
4．下列计算中正确的是（ ）
A．a·a2＝a2 B．2a·a＝2a2 C．(2a2)2＝2a4 D．6a8÷3a2＝2a4
【答案】B
【分析】
直接利用幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、单项式乘单项式运算法则以及单项式除单项式运算法则分别判断得出答案．
【详解】
解：A． a·a2＝a3，此选项错误，不符合题意；
B．2a·a＝2a2，此选项正确，符合题意；
C．(2a2)2＝4a4，此选项错误，不符合题意；
D．6a8÷3a2＝2a6，此选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了幂的乘方，积的乘方，单项式乘单项式以及单项式除单项式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的险滩、积的乘方以及幂的乘方运算法则对各项进行计算判断即可得到答案．
【详解】
解：A. ，故原选项计算错误，不符合题意；
B. 与不能合并，故原选项计算错误，不符合题意；
C. ，计算正确，符合题意；
D. ，故原选项计算错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的险滩、积的乘方以及幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
6．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，小明从图中得到 4个代数恒等式，其中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据已知条件，求出相关四边形的面积即可．
【详解】
如图可知四边形ABDC的面积是，故选项A错误；
如图可知四边形ABFE的面积是，故选项B错误；
如图可知四边形AIKG的面积是，故选项C错误；
如图可知四边形ABHG的面积是，故选项D正确；
故选：D
【点睛】
考核知识点：整式的乘法．根据整式乘法求出四边形面积是关键．
7．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
A.根据同类项定义解题；
B.根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解题；
C.根据幂的乘方法则解题；
D.根据同底数幂相除，底数不变，指数相减解题.
【详解】
解：A. 与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故A选项不正确，不符合题意；
B. ，故B选项正确，符合题意；
C. ，故C选项不正确，不符合题意；
D. ，故D旋转不正确，不符合题意．
故选B.
【点睛】
此题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据合并同类项、同底数幂乘除法、幂的乘方的性质，对各个选项分别计算，即可得到答案．
【详解】
和不是同类项，不可直接相加减，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了整式运算的知识；解题的关键是熟练掌握合并同类项、同底数幂乘除法、幂的乘方的性质，从而完成求解．
二、填空题
9．古希腊数学家把下列一组数：1、3、6、10、15、21、…叫做三角形数，这组数有一定的规律性，如果把第一个三角形数记为，第二个三角形数记为，…，第n个三角形数记为，那么的值是_____（用含n的式子表示）．
【答案】
【分析】
此题注意对数据（数列）的分析：（1）数据依次差2，3，4，5，6，…；（2）数据扩大2倍，形成新数据：2，6，12，20，30，42，…，可以依次改成相邻两个正整数的乘积．这样可以得到第n个数的规律．
【详解】
将条件数据1、3、6、10、15、21、…，依次扩大2倍得到：2，6，12，20，30，42，…，
这组新数据中的每一个数据可以改写成两个相邻正整数的乘积，即2＝1×2，6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，…，
∴，（n≥1）．
所以=．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了三角形数的规律，掌握扩大2倍法寻找规律的方法是解题的关键．
10．旧知回顾：在七年级学习“平方根”时，我们会直接开方解形如的方程（解为）．解题运用：方程解为_________．
【答案】，．
【分析】
先将原方程化为，即可类比题目中解方程的方法求解即可．
【详解】
解：，
，
合并同类项，得，
移项，得，
解得，．
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了利用平方根解方程及整式的乘法运算，掌握平方根的定义是解答此题的关键．
11．对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，．当，，则__________；当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是__________．
【答案】
【分析】
根据定义的新运算F，将，代入，得到关于m、n的二元一次方程组，求出m、n的值，代回原式即可求得；由列出关系式，整理后即可确定出m、n的关系式．
【详解】
解：①根据题意得，，
，
整理得：，解得：，
则
，
②由得
，
整理得：，
当时，对任意有理数，都成立，
即；
故答案为：；．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，二元一次方程组的应用等知识点，弄清题中的新定义是解本题的关键．
12．老师在黑板上写出三个算式：，，，王华同学接着又写了两个具有同样规律的算式：，请你再写出两个具有上述规律的算式：_____________ ，__________；用文字写出上述算式反应的规律_________．
【答案】 任意两个奇数的平方差等于8的倍数
【分析】
观察三个算式，发现两个奇数的平方差等于8的倍数，据此解答即可求解．
【详解】
解：，，，
具有上述规律的算式：，；
用文字写出上述算式反应的规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
故答案为：；；任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
【点睛】
本题考查了根据式子寻找数学规律，认真分析各式的特点，找出了式子的规律是解题关键，一般寻找规律时从式子中不变的量和变化的量两个方面入手．
13．若，，则的值是________．
【答案】27
【分析】
根据同底数幂的乘法和除法逆运算，再利用幂的乘方逆运算将分子和分母化为已知有关的式子，然后代入进行计算即可得解.
【详解】
∵，，
，
故答案为：27.
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握相关计算法则是解决本题的关键.
14．如图，现有A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，若要拼一个长为（3a+b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要___张C类卡片．
【答案】7
【分析】
用长乘以宽，列出算式，根据多项式乘以多项式的运算法则展开，然后根据A、B、C类卡片的形状可得答案．
【详解】
解：∵（3a+b）（a+2b）
＝3a2+6ab+ab+2b2
＝3a2+7ab+2b2，
∴若要拼一个长为（3a+b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类3张，B类2张，C类7张．
故答案为：7．
【点睛】
此题利用图形的变换结合长方形的面积考查多项式的乘法，难度一般．
15．若，则的值为____．
【答案】3
【分析】
由多项式乘多项式计算得x2＋（b﹣1）x﹣b＝x2＋ax﹣2，根据对应系数相等即可得出答案．
【详解】
解：∵（x﹣1）（x＋b）＝x2＋bx﹣x﹣b＝x2＋（b﹣1）x﹣b，
∴x2＋（b﹣1）x﹣b＝x2＋ax﹣2，
∴b﹣1＝a，﹣b＝﹣2，
解得：b＝2，a＝1，
∴a＋b＝3，
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则进行计算是解决本题的关键．
16．有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是7，可发现第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，第3次输出的结果是3，依次继续下去…，第2013次输出的结果是_______．
【答案】3
【分析】
由输入为7是奇数，得到输出的结果为，将偶数12代入代入计算得到结果为6，将偶数6代入计算得到第3次的输出结果，依此类推得到一般性规律，即可得到第2013次的结果．
【详解】
解：根据题意得：开始输入的值是7，可发现第1次输出的结果是；
第2次输出的结果是；
第3次输出的结果是；
第4次输出的结果为；
第5次输出的结果为；
第6次输出的结果为；
第7次输出的结果为；
第8次输出的结果为；
归纳总结得到输出的结果从第2次开始以6，3，8，4，2，1循环，
，
则第2013次输出的结果为3．
故答案为：3．
【点睛】
此题考查了代数式求值，弄清题中的规律是解本题的关键．
三、解答题
17．（1）填空：
_________；
__________；
__________________．
（2）猜想：______（其中为正整数，且）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：
①；
②．
【答案】（1）a2-b2；a3-b3；a4-b4；（2）an-bn；（3）①4094；②
【分析】
（1）利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）利用得出的规律将原式变形，计算即可求出值．
【详解】
解：（1）（a-b）（a+b）=a2-b2；
（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3；
（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4-b4；
（2）猜想：（a-b）（an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1）=an-bn；
（3）①
=
=
=
=
=4094；
②
=
=
=
=
=
=
【点睛】
此题考查了平方差公式，多项式乘多项式以及数字的变化规律，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
18．如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的长方形荒地，政府准备在此建个休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，设宽为x米．中间的三个长方形区域（空白部分）将铺设塑胶地面作为运动场所，三个长方形其中一边均为a米．
（1）用含x的代数式表示a，则________米；
（2）用含x的代数式表示塑胶场地的总面积（空白部分）并化简；
（3）若米，塑胶场地的造价为每平方米80元，请计算塑胶场地的造价．
【答案】（1）；（2）；（3）194400元
【分析】
（1）根据大长方形的长为60米列出方程求得a的表达式；
（2）可以把阴影部分拼接在一块，空白部分拼接在一块，从而列出代数式，化简即可；
（3）当x=2时，先计算出塑胶场地的面积，再计算造价．
【详解】
解：（1）根据题意得：，
，
故答案为：；
（2）
；
（3）当时，
原式
（平方米），
（元，
答：塑胶场地的造价为194400元．
【点睛】
本题考查了列代数式，代数式求值，其中列代数式是关键．
19．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【答案】（1）1；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【分析】
（1）先计算幂的乘方，再利用同底数幂的除法法则进行运算即可；
（2）先计算积的乘方运算，再利用单项式除以单项式的法则运算即可；
（3）利用单项式除以单项式的法则进行运算即可；
（4）先计算积的乘方运算，再计算单项式乘以单项式，最后计算单项式除以单项式即可；
（5）利用多项式除以单项式的法则进行运算即可；
（6）利用多项式除以单项式的法则进行运算即可；
【详解】
解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
【点睛】
本题考查的是幂的乘方运算，同底数幂的除法，单项式除以单项式，多项式除以单项式，掌握“多项式除以单项式的法则：把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加”是解题的关键.
20．阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如就可以用如下的图形面积来表示．
（1）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：；
（2）请仿照上述方法另写出一个含有a，b的代数恒等式（要求不同于上述多项式），并画出与之对应的几何图形．
【答案】（1）见解析；（2）（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2，画图见解析
【分析】
（1）设计一个长方形的长为a+3b，宽为a+b的大长方形即可；
（2）设计一个长方形的长为2a+b，宽为a+2b的大长方形即可．
【详解】
解：（1）如图所示．
（2）如图所示：（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
21．一块原长分别为a、b（）的长方形，一边增加1，另一边减少1
（1）当时，变化后的面积是增加还是减少？
（2）当时，有两种方案，第一种方案如图1，第二种方案如图2，请你比较这两种方案，确定哪一种方案变化后的面积比较大．
【答案】（1）减小（2）方案2变化后面积大
【分析】
（1）根据题意得出算式，求出两式的差，再判断即可；
（2）求出两种方案的算式，求出两式的差，再判断即可．
【详解】
解：（1）设原来长方形的面积是S前，变化后的长方形的面积是S后，
根据题意得：S前＝ab，S后＝（a＋1）（b−1）＝ab＋b−a−1，
∴S后−S前＝ab＋b−a−1−ab＝b−a−1，
∵a＝b，
∴b−a−1＝−1＜0，
∴S后＜S前，
∴变化后面积减小了．
（2）方案1，S1＝（a＋1）（b−1）＝ab−a＋b−1，
方案2，S2＝（a−1）（b＋1）＝ab＋a−b−1，
∴S1−S2＝−2a＋2b＝−2（a−b），
∵a＞b，
∴S1−S2＜0，
∴方案2变化后面积大．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算的应用，关键是能根据题意列出算式．
22．探究规律，解决问题：
（1）化简：___________，_________．
（2）化简：，写出化简过程．
（3）化简：____________．（n为正整数，为项多项式）
（4）利用以上结果，计算的值．
【答案】（1），； （2），化简过程见解析；（3）；（4）．
【分析】
（1）根据平方差公式、多项式乘多项式的运算法则进行计算即可；
（2）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可；
（3）根据（1）、（2）得出的规律可直接得到答案；
（4）根据（3）的规律可直接代数进行计算即可．
【详解】
（1），
．
（2）
=
=．
（3）
=
=．（n为正整数，为项多项式）
（4）
=
=．
∴．
【点睛】
本题主要考查多项式乘以多项式的法则．多项式乘以多项式的法则，可表示为，注意不要漏项，漏字母．
23．化简求值
，其中，．
【答案】，-12
【分析】
原式中含有括号，则化简时先去括号，然后合并同类项得到最简式，将x，y的值代入最简式即可得到原式的值．
【详解】
解：
当，时
原式
【点睛】
本题考查了去括号法则，合并同类项的法则，去括号时要注意符号的变化，也是容易出错的地方．
24．已知：(x－1)(x＋1)＝x2－1
(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1
(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1
(x－1)(x4＋x3＋x2＋x＋1)＝x5－1
（1）当x＝3时，(3－1)×(33＋32＋3＋1)＝________；
……
（2）试求：25＋24＋23＋22＋2＋1的值．
（3）判断22021＋22020＋22019＋……＋22＋2＋1的值的个位数是________；
【答案】（1）80；（2）63；（3）3
【分析】
（1）把x=3直接代入进行计算即可；
（2）根据前几个变化规律，将x=5时的等式恒等变形即可得出答案；
（3）找到变化规律，再恒等变形，依次分析2的n次方的个位数字变化规律即可求解．
【详解】
解：（1）当x=3时，(3－1)×(33＋32＋3＋1)=34﹣1=80，
故答案为：80；
（2）根据题意，(x－1)(x5+x4＋x3＋x2＋x＋1)＝x6－1，
当x=2时，(2－1)(25+24＋23＋22＋2＋1)＝26－1=63，
故25＋24＋23＋22＋2＋1=63；
（3）由题意知，
原式=（2﹣1）×（22021＋22020＋22019＋……＋22＋2＋1）=22022﹣1，
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，……，且2022=505×4+2，
∴22022的个位数与22的个位数相同，即为4，
∴22022﹣1的个位数为3，
即22021＋22020＋22019＋……＋22＋2＋1的值的个位数是3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查有理数的乘方、整式乘法的规律性问题、数字类的规律探究，根据已知等式，正确归纳出一般变化规律是解答的关键．
25．学校有块长方形花坛，空白部分铺上草坪，中间阴影部分修建一座雕塑（尺寸如图所示，单位：米）
（1）求铺设草坪部分的面积？（用a，b的代数式表示，结果要化简）
（2）当米，米时，求草坪的面积．
【答案】（1）a2＋5ab＋3b2；（2）87平方米
【分析】
（1）根据题意表示出剩下草坪的面积，再根据整式的运算法则化简即可；
（2）将a＝5，b＝2代入（1）中所求代数式计算即可．
【详解】
解：（1）由题意得：
铺设草坪部分的面积＝（2a＋b）（a＋2b）－（a2－b2）
＝2a2＋ab＋4ab＋2b2－a2＋b2
＝a2＋5ab＋3b2，
（2）由（1）得：铺设草坪部分的面积为a2＋5ab＋3b2，
当a＝5，b＝2时，
a2＋5ab＋3b2＝52＋5×5×2＋3×22
＝25＋50＋12
＝87，
答：铺设草坪部分的面积为87平方米．
【点睛】
此题考查了列代数式以及代数式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解本题的关键．
26．阅读材料：对于任意一个三位正整数，如果满足百位上的数字与十位上的数字之和恰好等于个位上的数字，我们称这个数为“和数”，并把各位数字的平方和记为．例如：正整数134，因为，所以134是“和数”，．
（1）求证：任意一个“和数”与它各位数字之和的差能被9整除；
（2）若“和数”与它各位数字之和能被7整除，且为偶数，求满足条件的所有“和数”，并求的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）314或156或628，最小值为26
【分析】
（1）用字母表示出一个“和数”，按题干要求列出代数式，提取公因式后可以说明命题正确；
（2）设“和数”M=100a+10b+a+b，则①a+b≤9；由于M为偶数，可得②a，b同为奇数或同为偶数；因为M与它各位数字之和能被7整除，可得③2a+b能被7整除，a，b同时满足以上三个条件，于是可求得a，b的值，结论可求．
【详解】
解：（1）设“和数”的百位数字为a，十位数字为b，则个位数字为（a+b），
则这个“和数”为：100a+10b+a+b．
∴和数”与它各位数字之和的差为：
100a+10b+a+b-（a+b+a+b）
=100a+10b+a+b-a-b-a-b
=99a+9b
=9（11a+b）．
∴任意一个“和数”与它各位数字之和的差能被9整除；
（2）设M的百位数字为a，十位数字为b，则个位数字为（a+b），
∴M=100a+10b+a+b，其中a，b为正整数，a+b≤9．
∵M为偶数，
∴a+b为偶数．
∴a，b同为奇数或同为偶数．
∴“和数”M与它各位数字之和为：
100a+10b+a+b+（a+b+a+b）
=103a+13b
=105a+14b-2a-b
=7（15a+2b）-（2a+b）．
∵“和数”M与它各位数字之和能被7整除，
∴2a+b能被7整除．
∴2a+b=7或14．
∴a=3，b=1或a=1，b=5或a=6，b=2．
∴“和数”M为：314或156或628．
∵P（314）=32+12+42=26，
P（156）=12+52+62=62，
P（628）=62+22+82=104，
∴P（314）＜P（156）＜P（628）．
∴P（M）的最小值为26．
【点睛】
本题主要考查了有理数的混合运算，列代数式，有理数的整除特性．本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义和公式并熟练运用是解题的关键．
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初中数学人教版八年级上册第十五章 分式15.2 分式的运算15.2.2 分式的加减同步测试题： 这是一份初中数学人教版八年级上册第十五章 分式15.2 分式的运算15.2.2 分式的加减同步测试题，文件包含1522分式的加减提高卷解析版docx、1522分式的加减提高卷原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
