初中数学人教版八年级上册15.2.1 分式的乘除随堂练习题

15.2.1分式的乘除  培优卷

一、单选题

1．一支部队排成a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t1分钟追上了团长、为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t2分钟．如果他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是（　　　）

A．分钟 B．分钟

C．分钟 D．分钟

【答案】C

【分析】

根据题意得到队伍的速度为，队尾战士的速度为，可以得到他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是，化简即可求解

【详解】

解：由题意得：分钟．

故选：C

【点睛】

本题考查了根据题意列分式计算，理解题意正确列出分式是解题关键．

2．若x为整数，且的值也为整数，则所有符合条件的x的值有（　　）

A．6个 B．5个 C．4个 D．3个

【答案】B

【分析】

先化简分式，若的值为整数即的值为整数，故（x-2）为4的因数，由此确定整数x的值.

【详解】

原式＝，

因为x为整数，分式的值也为整数，且x≠-2，

所以分式的值分别为﹣2、﹣4、4、2、1时，得

X=0、1、3、4、6，

所以所有符合条件的x的值有5个．

故选：B．

【点睛】

此题考察分式的化简，分式有意义的条件，根据分式的值为0确定分母的值，由此得出x的值，注意分母中虽约去了（x+2），但是要考虑到x≠-2，避免错误.

3．若满足,则的值为（     ）

A．1或0 B． 或0 C．1或 D．1或

【答案】D

【详解】

令,则 则且,则k=1，当k=1则；当k=-1，.

故选D.

4．甲杯中盛有m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯中倒出a毫升到乙杯里（0＜a＜m），搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时（      ）

A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少

B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多

C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同

D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定

【答案】C

【分析】

算出第一次倒出溶液后乙杯中相应墨水的比例，进而得到混入相应墨水的质量，比较即可．

【详解】

甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后：

乙杯中红墨水的比例为，蓝墨水的比例为，

再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后：

乙杯中含有的红墨水的数量是a-a•=毫升①

乙杯中减少的蓝墨水的数量是a•=毫升，②

∵①=②

∴故选C．

【点睛】

考查了用浓度和溶液表示溶质的等量关系；用到的知识点为：纯墨水的质量=总质量×相应的浓度．

5．已知对任意实数，式子都有意义，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

把分母配方为，根据对任意实数，式子都有意义，列出不等式即可．

【详解】

解：，

，对任意实数，式子都有意义，

，

解得．

故选：．
 

【点睛】

本题考查了分式有意义的条件、配方法，解题关键是运用配方法把分母变形，再根据题意，列出不等式求解．

6．已知，则分式的值为（     ）

A．8 B． C． D．4

【答案】A

【分析】

由，得，．代入所求的式子化简即可．

【详解】

解：由，得，

．

故选：A．

【点睛】

本题解题关键是用到了整体代入的思想．

7．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子的最小值是”．其推导方法如下：在面积是的矩形中设矩形的一边长为，则另一边长是，矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有，解得，这时矩形的周长最小，因此的最小值是．模仿张华的推导，你求得式子的最小值是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

在面积是4的矩形中，设矩形的一边长为x，则另一边是，矩形的周长是2（x+），当矩形成为正方形时，就有x=，解得x=2，这时矩形的周长2（x+）=8最小，因此x+的最小值是4，而= x+，所以的最小值是4.

故选B.

点睛：本题关键在于理解已知结论的推导过程.

8．若三角形三边分别为a、b、c，且分式的值为0，则此三角形一定是（　　）

A．不等边三角形 B．腰与底边不等的等腰三角形

C．等边三角形 D．直角三角形

【答案】B

【详解】

根据分式等于0的条件，分母不为0，分子等于0，即a-c≠0，ab-ac+bc-b2= ab -b2-ac+bc =b（a-b）-c（a-b）=（a-b）（b-c）=0，所以a≠c，a=b，或b=c，因此可知此三角形一定是腰与底边不等的等腰三角形.

故选B.

点睛：此题主要考查了分式的值为0的条件，解题关键是明确分式的值为0的条件为分母不为0，分子为0，然后根据结果，由边的关系判断三角形的形状.

二、填空题

9．设有三个互不相等的有理数，既可表示为-1，a+b，a的形式，又可表示为0，，b的形式，则的值为____．

【答案】-1

【分析】

由题意三个互不相等的有理数，既可表示为-1、、的形式，又可表示为0、、的形式，可知这两个三数组分别对应相等．从而判断出、的值．代入计算出结果．

【详解】

解：三个互不相等的有理数，既可表示为-1、、的形式，又可表示为0、、的形式，

这两个三数组分别对应相等．

、中有一个是0，由于有意义，所以，

则，所以、互为相反数．

，

∴

∴，．

∴．

故答案是：-1．

【点睛】

本题考查了有理数的概念，分式有意义的条件，有理数的运算等相关知识，理解题意是关键．

10．已知:满足方程,则代数式的值是_____.

【答案】

【解析】

因为，则 .

故答案：.

11．观察下列等式：

，，

将以上三个等式两边分别相加得：=++==

猜想并得出：=

根据以上推理，求出分式方程的解是______．

【答案】x=5

【分析】

根据题目中的运算法则，原方程利用拆项法变形后，求出答案即可．

【详解】

解：根据题意，

∵，

∴，

整理得：，

∴，

解得：x=5，

经检验x=5是分式方程的解．

故答案为：x=5．

【点睛】

此题考查了解分式方程，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

12．今年是脱贫攻坚关键年，大学生小赵利用电商平台帮助家乡售卖当地土特产。今年10月份葡萄干、哈密瓜、核桃三种土特产的销售量之比为2：3：5，随着“双十一”的到来，预计11月份总销售量会大幅增加，其中核桃增加的销售量占三种特产总增加的销售量的，且核桃的销售量将达到11月份三种特产总销售量的，为使葡萄干、哈密瓜11月份的销售量之比为3：4，则11月份葡萄干还需增加的销售量与11月份总销售量之比是______.

【答案】

【分析】

设10月份葡萄干、哈密瓜、核桃三种土特产的总销售量为，11月份葡萄干、哈密瓜、核桃三种土特产的总销售量为，先根据核桃增加的销售量建立等式可求出，再根据“葡萄干、哈密瓜11月份的销售量之比为”求出11月份葡萄干的销售量，从而可得11月份葡萄干还需增加的销售量，由此即可得．

【详解】

设10月份葡萄干、哈密瓜、核桃三种土特产的总销售量为，11月份葡萄干、哈密瓜、核桃三种土特产的总销售量为，

则10月份葡萄干、哈密瓜、核桃三种土特产的销售量依次为，

11月份三种特产总增加的销售量为，

11月份核桃增加的销售量为，

11月份核桃的销售量为，

因此有，

整理得：，

当葡萄干、哈密瓜11月份的销售量之比为时，11月份葡萄干的销售量为，

则11月份葡萄干还需增加的销售量与11月份总销售量之比是，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了列代数式的应用、分式的应用，依据题意，正确求出11月份总销售量与10月份总销售量的关系是解题关键．

13．已知，则_______.

【答案】

【解析】

【分析】

先根据绝对值的非负性求出a和b的值，代入代数式中根据分数的性质对原式进行变形即可求出答案.

【详解】

∵，

所以，

∴a=1，b=2，

∴原式=

      =

      =

      =

【点睛】

本题考查非负数的性质，绝对值.本题解题关键有两个，①任意数的绝对值都大于或等于0，而两个非负数（或式）的和要等于0，那么这两个数（或式）都要为0；②注意分数的等量变形.

14．给定一列分式：、、、、……（，），则第五个分式是__________________ ，第个分式是__________________ ；

【答案】       

【解析】

根据给定这列分式的规律可得第五个分式为，观察可得在奇数个数的位置上的分式为正，偶数个数的位置上的分式为负，可得分式前面的系数为，分别观察分子、分母的系数和b的指数，即可得第n个分式为.

点睛：本题是找规律性的题目，需要同学们认真读题发现规律，利用规律．

15．如果记y＝＝f（x），并且f（1）表示当x＝1时y的值，即f（1）＝＝；f（）表示当x＝时y的值，即f（）＝＝；那么f（1）＋f（2）＋f（）＋f（3）＋f（）＋…＋f（2013）＋f（）＝_____．

【答案】2012.5

【解析】

试题分析：由题意f（2）＋f（）＝＝1，f（3）＋f（）＝1，…，f（2013）＋f（）＝1，根据这个规律即可求得结果.

由题意得f（1）＋f（2）＋f（）＋f（3）＋f（）＋…＋f（2013）＋f（）

＝+1+1+1…＋1＝2012.5．

考点：找规律-式子的变化

点评：解答此类找规律的问题的关键是仔细分析所给式子的特征得到规律，再把这个规律应用于解题.

16．当x取_____时，分式有意义．

【答案】x≠0且x≠±1

【解析】

分析：要想使分式有意义，那么分式的分母就不能为0，据此列出关于x的不等式组，解不等式组即可求得x的取值范围．

详解：由题意可知，只有当：时，原分式才有意义，解得：，即当x≠0且x≠±1时，原分式有意义．

    故答案为：x≠0且x≠±1．

点睛：本题主要考查了分式有意义的条件，要求掌握．对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．解此类问题，只要令分式中分母不等于0，求得字母的取值即可．

    本题的难点在于，题中是一个繁分式，需一层一层分析，x是的分母，所以x≠0；

    x﹣是的分母，所以x﹣≠0；1﹣又是整个分式的分母，因此1﹣≠0．繁分式的有关知识超出初中教材大纲要求，只在竞赛中出现．

三、解答题

17．阅读下面的材料，并解答后面的问题

材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.

解：由分母为，可设.

因为，

所以.

所以，解之，得.

所以

这样，分式就被拆分成了一个整式与一个分式的差的形式.

问题：（1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；

（2）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）仿照例题将分解为，求出a、b的值即可得到答案；

（2）将分解为，得到，求出m、n，整理后即可得到答案.

【详解】

（1）由分母为x-1，可设=，

∵=，

∴

∴，得，

∴===；

（2）由分母为，可设=，

∵=

∴=，

∴，得，

∴==.

【点睛】

此题是仿照例题解题的形式解题，正确理解题意，明确例题中的计算的方法是解题的关键.

18．阅读下面的解题过程：已知，求的值。

解：由知，，所以，即.

所以.所以.

该题的解法叫做“倒数法”。

已知：

请你利用“倒数法”求的值。求的值。

【答案】；

【分析】

计算所求式子的倒数，再将代入可得结论；将进行变形后代入即可.

【详解】

解：∵，且x≠0，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴

∵

∴

∴

【点睛】

本题考查分式的求值问题，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，注意分式的变形，本题属于基础题型．

19． 若＝＝≠0，求的值．

【答案】

【详解】

试题分析：根据比例的基本性质，设出参数，直接代入可求解.

试题解析：设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k≠0，

∴

＝

＝.

20．    已知＝，求2a－3b的值．

【答案】0

【详解】

试题分析：根据分式的基本性质，约去分子分母的公因式，得到a、b的关系，然后代入求值即可.

试题解析：原式＝＝，

∴2a＝3b，

∴2a－3b＝0.

21．（1）请你写出五个正的真分数，____，____，____，____，____，给每个分数的分子和分母加上同一个正数得到五个新分数：____，____，____，_____，____.

（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：

一个真分数是（a、b均为正数），给其分子分母同加一个正数m，得，则两个分数的大小关系是_____.

（3）请你用文字叙述（2）中结论的含义：

（4）你能用图形的面积说明这个结论吗？

（5）解决问题：如图1，有一个长宽不等的长方形绿地，现给绿地四周铺一条宽相等的路，问原来的长方形与现在铺过小路后的长方形是否相似？为什么？

（6）这个结论可以解释生活中的许多现象，解决许多生活与数学中的问题.请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关例子.

【答案】(1) ；；；；；；；；；；（2）＞；（3）给一个正的真分数的分子、分母同加一个正数，得到的新分数大于原来的分数；（4）答案见解析；（5）不相似，理由见解析；（6）答案见解析.

【分析】

（1）小于1的数叫做真分数；（2）根据实例易得规律；（3）抓住新分数大于原分数即可；（4）根据图形进行分析解答；（5）利用相关规律解决问题即可；（6）结合生活中的现象进行解答.

【详解】

解：（1）、、、、，、、、、；（2）；

（3）给一个正的真分数的分子、分母同加一个正数，得到的新分数大于原来的分数；

（4）思路1：如图2所示，

由，得，即，，可推出；

思路2：构造两个面积为1的长方形（如图3），将它们分成两部分，比较右侧的两个长方形面积可以发现：

，，

因为a、b、，且，

故 ，即

（5）不相似.因为两个长方形长与宽的比值不相等；

（6）数学问题举例：

①若是假分数，会有怎样的结论？

②a、b不是正数，或不全是正数，情况如何？

【点睛】

本题实际考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.

22．若，求的值

【答案】

【分析】

设，从而得x=3k，y=4k，z=5k；通过整式和分式的运算性质计算，即可得到答案．

【详解】

设，

∴x=3k，y=4k，z=5k

∴

=

=

=．

【点睛】

本题考查了整式、分式运算的知识；解题的关键是熟练掌握整式、分式运算的性质，从而完成求解．

23．我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：像，，……这样的分式是假分式；像，，……这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如：；；

（1）分式是    分式（填“真”或“假”）

（2）将分式化为整式与真分式的和的形式

（3）如果分式的值为整数，求的整数值

【答案】（1）真；（2）1；（3）x=2或0．

【分析】

（1）根据所给定义进行判定即可；

（2）根据题意把分式化成整式和真分式和的形式，即可求出结论；

（3）根据题中所给的例子把原分式化为整式和真分式和的形式，再根据分式的值为整数即可求出x的值．

【详解】

解：（1）因为分子次数小于分母次数，我们称之为真分数，分式分子零次，分母1次，所以分式是真分式；

故答案为：真；

（2）=；

（3）=；

∵分式的值为整数，且x为整数，

∴x-1=±1，

∴x=2或x=0

∴x的整数值为2或0．

【点睛】

本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答关键．

24．计算：（-）．

【答案】原式=-．

【解析】试题分析：根据分式的混合运算的顺序和要求，先算括号里面的，再算除法即可，注意解题时要对复杂的式子进行因式分解，然后再计算.

试题解析：原式=•=• =-

25．观察下列等式：

第1个等式：

第2个等式：

第3个等式：

……

请解答下列问题： 

（1）按以上规律列出第5个等式：________；

（2）用含有n的式子表示第n个等式：________（n为正整数）；

（3）求…的值．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【分析】

（1）根据前3个等式归纳类推出一般规律，由此即可得出第5个等式；

（2）根据前3个等式归纳类推出一般规律即可得；

（3）根据（2）的结论，分别可得的值，再根据有理数的乘法运算律进行计算即可得．

【详解】

（1）第1个等式：，

第2个等式：，

第3个等式：，

归纳类推得：第n个等式：（n为正整数），

则第5个等式：，

即；

（2）由（1）知，；

（3）由（2）得：，

则，

，

，

，

，

．

【点睛】

本题考查了分式的规律性问题、有理数的乘法运算律，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．

26．“拼图，推演，得到了整式的乘法的法则和乘法公式．教材第9章头像拼图这样，借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象.

（分数运算）

怎样理解？

从图形的变化过程可以看出，长方形先被平均分成3份，取其中的2份（涂部分）；再将涂色部分平均分成5份，取其中4份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成15份，取出其中8份，所以的占原长方形的，即.

（尝试推广）

（1）①类比分数运算，猜想的结果是____________；（a、b、c、d均为正整数，且，）；

②请用示意图验证①的猜想并用文字简单解释.

（2）①观察下图，填空：____________；

②若a、b均为正整数且，猜想的运算结果，并用示意图验证你的猜想，同时加以简单的文字解释.

【答案】（1）①  ②见解析   （2）①     ②见解析

【分析】

（1）长方形先被平均分成份，取其中的份；再将涂色部分平均分成份，取其中的份，这样，可看成原长方形被平均分成份，取其中份，所以的占原长方形的，即；

（2）长方形先被横向平均分成份，取其中1份，该长方形还可以如图被纵向平均分成份，取其中1份，这样，可看成原长方形被平均分成份，涂色部分共取其中份，所以占原来长方形的，即；

【详解】

解：（1）①；

故答案为；

②长方形先被平均分成a份，取其中的b份（涂部分）；再将涂色部分平均分成c份，取其中d份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成份，取其中份，所以的占原长方形的，即.

（2）①（）

②长方形先被横向平均分成（）份，取其中的1份（涂部分）；

该长方形还可以如图被纵向平均分成份，取其中1份（涂部分）.

这样，可看成原长方形被平均分成份，涂色部分共取其中份，

所以占原长方形的，

即.

【点睛】

本题考查分式的性质；能够仿照分数的例子得到分式的性质，画出合适的图形是解题的关键．