初中数学第十四章 整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法14.1.3 积的乘方复习练习题

14.1.3积的乘方  提高卷

一、单选题

1．已知，，，那么、、之间满足的等量关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

直接利用积的乘方、幂的乘方运算法则将原式变形得出答案．

【详解】

A选项：，即，A错误；

B选项：，即，B错误；

C选项：，即，C错误；

D选项：，D正确．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了积的乘方运算，幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．

2．下列等式，其中正确的个数是（）

①②③④⑤

A．个 B．个 C． D．

【答案】A

【分析】

按照幂的乘方与积的乘方法则，求出每个式子的值，再根据结果判断即可．

【详解】

①，故①错误；

②，故②错误；

③，故③错误；

④，故④错误；

⑤，故⑤正确，

则正确的个数是1．

故选：．

【点睛】

本题考查幂的乘方与积的乘方．幂的乘方法则为：幂的乘方，底数不变，指数相乘，（m，n都是正整数）；积的乘方法则为：积的乘方，等于每一个因数乘方的积，（m，n都是正整数）．

3．下列运算正确的是（    ）

A．x3+x5=x8 B．(y+1)(y-1)=y2-1 C．a10÷a2=a5 D．(-a2b)3=a6b3

【答案】B

【分析】

直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、整式的乘除运算分别计算得出答案．

【详解】

A、x3+x5，无法计算，故此选项错误；
B、（y+1）（y-1）=y2-1，正确；
C、a10÷a2=a8，故此选项错误；
D、（-a2b）3=-a6b3，故此选项错误．
故选B．

【点睛】

本题考查了合并同类项以及积的乘方运算、整式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．

4．下列式子中，正确的有(    )

①m3∙m5=m15；  ②（a3）4=a7；  ③（-a2）3=-（a3）2；  ④（3x2）2=6x6

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】B

【分析】

根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方逐一分析判断即可．

【详解】

解：①，故该项错误；②，故该项错误；③，，故该项正确；④，故该项不正确；综上所述，正确的只有③，

故选：B．

【点睛】

本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．

5．已知a=42，b=58  ， c=(-10)4  ， 则a，b，c三个数的大小关系是(     )

A．b>c> a B．b>a> c C．c>a>b D．a>b>c

【答案】A

【分析】

分别把b、c的数字分解成b=58=54×54， c=24×54，从而可得出a、b、c的大小关系．

【详解】

解：∵c=(-10)4=104=(2×5)4=24×54，

 b=58=54×54，

 54=625>42，

 ∴b＞c＞a．

 故选：A．

【分析】

本题考查了有理数大小比较，熟练掌握乘方的意义和积的乘方的运算法则是解本题的关键．

6．下列运算中，计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

依据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则逐一计算即可．

【详解】

A.，故该选项计算错误，不符合题意，

B.，故该选项计算错误，不符合题意，

C.，故该选项计算错误，不符合题意，

D.，故该选项计算正确，符合题意，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查的是合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，熟练掌握相关法则是解题的关键．

7．下列运算，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方法则来分析．

【详解】

解：A．错误，a3+a3=2a3
B．正确，因为幂的乘方，底数不变，指数相乘．
C．错误，a2a5=a7
D．错误，（3ab）2=9a2b2
故选：B．

【点睛】

本题主要考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方法则，侧重练习学生们的运算能力，属于基础题型，熟练掌握合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方法则是解题的关键．

8．下列各式计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方运算、积的乘方运算依次计算后判断即可．

【详解】

解：A. ，原选项计算正确，符合题意；

B. ，原选项计算错误，不符合题意；

C. ，原选项计算错误，不符合题意；

D. ，原选项计算错误，不符合题意．

故选：A．

【点睛】

本题考查整式的相关运算．主要考查同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方运算、积的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．

二、填空题

9．计算的结果等于________．

【答案】

【分析】

根据积的乘方等于各因数乘方的积计算即可．

【详解】

∵＝，

故答案为：

【点睛】

本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方的运算法则是解题的关键．

10．计算：__________．

【答案】4

【分析】

利用同底数幂乘法的逆用以及积的乘方的逆用进一步变形求解即可.

【详解】

原式=，

故答案为：4.

【点睛】

本题主要考查了同底数幂乘法的逆用以及积的乘方的逆用，熟练掌握相关方法是解题关键.

11．单项式 的系数是________，次数是________．

【答案】    9   

【分析】

先运用积的乘方、幂的乘方进行运算，然后根据系数和次数的定义解答即可．

【详解】

解：由= ，故该单项式的系数为，次数为9．

故填 ，9．

【点睛】

本题主要考查了单项式的系数、次数、积的乘方、幂的乘方等知识点，掌握单项式的次数等于各字母的指数之和成为解答本题的关键．

12．已知，，则__________．

【答案】a6 b7.

【分析】

逆用积的乘方和幂的乘方法则进行计算．变形为，然后表示出和代入即可.

【详解】

解：∵=（）6=a6，=（）7=b7，

∴= a6 b7，

故答案是：a6 b7.

【点睛】

此题考查逆用积的乘方和幂的乘方法则进行运算；幂的乘方：底数不变，指数相乘；积的乘方等于乘方的积．

13．计算：________________．

【答案】

【分析】

根据积的乘方与幂的乘方运算法则进行计算即可得到答案．

【详解】

解：．

故答案为：．

【点睛】

此题主要考查了积的乘方与幂的乘方的运算，熟练掌握积的乘方与幂的乘方运算法则是解答此题的关键．

14．计算：

（1）______；

（2）______.

【答案】       

【分析】

（1）根据积的乘方公式计算，在化简符号即可；（2）先将（xy）3化简，再与x3相乘时依据同底数幂乘法公式计算即可.

【详解】

（1）；

（2）

故（1）填；（2）填.

【点睛】

此题考察同底数幂的乘法、积的乘方公式的运用，熟记公式才能正确辨别及计算.

15．计算：= _________________．

【答案】

【分析】

根据积的乘方的逆用即可得．

【详解】

原式，

，

，

，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．

16．已知，那么的值为_______．

【答案】1

【分析】

由题意易得，进而可得，然后问题可求解．

【详解】

解：∵，

∴，即，

∴，即，

∴，

∴；

故答案为1．

【点睛】

本题主要考查幂的乘方及积的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方及积的乘方是解题的关键．

三、解答题

17．计算：

（1）；

（2）．

【答案】（1）；（2）8．

【分析】

（1）先计算积的乘方和同底数幂相乘，再合并同类项即可；

（2）由积的乘方逆运算，同底数幂相乘，以及同底数幂相乘的逆运算进行计算，即可得到答案．

【详解】

解：（1）

=

=；

（2）

=

=

=

=

=8．

【点睛】

本题考查了积的乘方，同底数幂相乘，以及他们的逆运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．

18．计算：

（1）；

（2）．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）根据立方根的定义，算术平方根的定义，绝对值的意义化简即可；

（2）变形，逆用积的乘方计算．

【详解】

解：（1）解：

.

（2）

．

【点睛】

本题考查了立方根，算术平方根，绝对值，幂的运算，积的乘方，将算式变形，逆用积的乘方是解题的关键．

19．计算：．

【答案】

【分析】

直接利用幂的乘方、积的乘方及同底数幂的乘法法则计算得出答案．

【详解】

解：原式

【点睛】

本题主要考查了整式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．

20．已知求的值．

【答案】-5

【解析】

【分析】

直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则计算得出答案．

【详解】

∵，

,

【点睛】

考查单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，掌握运算法则是解题的关键.

21．(1)已知，，求的值；

(2)已知，，求的值.

【答案】（1）5；（2）900.

【解析】

【分析】

（1）先根据同底数幂乘法运算的逆运算得出ax+y=ax•ay=25，根据ax=5可得ay=5，代入即可求解；
（2）将原式利用同底数幂乘法运算的逆运算进行变形为（10α）2•（10β）2，即可求解．

【详解】

解：(1)∵，

∴

(2)

【点睛】

考查的是正数指数幂的运算，掌握整数指数幂的运算公式是解题的关键．

22．球的表面积（其中、分别表示球的表面积和半径），木星可以近似地看成球体，木星的直径约为，木星的表面积是多少平方千米？

【答案】

【分析】

根据题意先求出半径r的值，再将r的值代入表面积公式计算即可.

【详解】

∵直径为，

∴半径，

∴球的表面积= .

【点睛】

此题考察积的乘方计算，依据题意将半径r正确代入即可，注意半径的平方的化简是解题关键.

23．规定两数a，b之间的一种运算，记作(a，b)：如果，那么(a，b)=c．例如：因为23=8，所以(2，8)=3．

（1）根据上述规定，填空：（3，9）=     ，（5，125）=      ，（，）=      ，（-2，-32）=      ．

（2）令（4，6）=a，（4，7）=b，（4，42）=c，试说明下列等式成立的理由：（4，6）+（4，7）=（4，42）

【答案】（1）2；3；4；5 ；（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；
（2）根据积的乘方法则，结合定义计算．

【详解】

（1）解：（1）∵32=9，53=125，（-）4=，（-2）5=-32，
∴（3，9）=2，（5，125）=3，（-，）=4，（-2，-32）=5，
故选2，3，4，5；

（2）∵（4，6）=a，（4，7）=b，（4，42）=c ，

 ∴4a=6，4b=7，4c=42  ，

∵6×7=42  ，

∴4a×4b=4c ，

∴4a＋b=4c ，

∴a＋b=c ，

∴（4，6）+（4，7）=（4，42）.

【点睛】

本题考查了幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．

24．用简便方法计算

【答案】1

【分析】

先利用积的乘方运算法则得( )2017；接下来再利用乘法交换律和1的任何次幂都是1进行计算即可，

【详解】

原式=()2017

=() 2017

=12017

=1.

【点睛】

此题考查有理数的乘法，积的乘方，解题关键在于利用乘法交换律进行解答.

25．计算：

【答案】

【分析】

根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可.

【详解】

原式

【点睛】

本题主要考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是关键.

26．下图中是小明完成的一道作业题，请你参考小明的方法解答下面的问题：

（1）计算：

①；

②．

（2）若，直接写出的值．

【答案】（1）①1；②；（2）3

【分析】

（1）①直接利用积的乘方运算法则将原式变形求出答案；
②直接利用积的乘方运算法则将原式变形求出答案；
（2）利用幂的乘方运算法则和同底数幂的乘除运算法则化简得出答案．

【详解】

解：（1）①

；

②原式

；

（2）由已知得，，则，

故，解得：．

【点睛】

此题主要考查了幂的乘方运算以及积的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．