人教版八年级上册14.2.1 平方差公式一课一练

14.2.1平方差公式 提高卷

一、单选题

1．如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．

【详解】

第一个图形空白部分的面积是x2-1，
第二个图形的面积是（x+1）（x-1）．
则x2-1=（x+1）（x-1）．
故选：B．

【点睛】

本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键．

2．可以用平方差公式进行计算的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

根据两数之和与两数之差的乘积等于两数的平方差判断即可得到正确的选项．

【详解】

解：A．不可用平方差公式，故不符合题意；

B．，不是平方差，故不符合题意；

C．，符合题意；

D．，不是平方差，故不符合题意．

故选C．

此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解答本题的关键．

3．下列运算正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，平方差公式的计算法则进行计算即可求解．

【详解】

A．，故选项A不合题意；

B．，故选项B不合题意；

C．，故选项C符合题意；

D．，故选项D不合题意．

故选C．

【点睛】

此题考查同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，平方差公式，掌握运算法则是解题关键

4．若m为大于0的整数，则(m+1)2－(m－1)2一定是（    ）．

A．3的倍数 B．4的倍数 C．6的倍数 D．16的倍数

【答案】B

【分析】

先运用平方差公式进行化简，然后进行判断即可．

【详解】

解：(m+1)2－(m－1)2

=(m+1+m-1)(m+1-m+1)

=2m×2

=4m

故答案为B．

【点睛】

本题考查了平方差公式，熟练掌握并灵活应用平方差公式是解答本题的关键．

5．在下列多项式中，与-x-y相乘的结果为x2－y2的多项式是(     )

A．x－y B．x＋y C．–x＋y D．–x－y

【答案】C

【分析】

依据多项式乘多项式法则进行判断即可．

【详解】

解：（x-y）（-x-y）=y2-x2，故A错误；
（-x-y）（x+y）=-x2-2xy-y2，故B错误；
（-x+y）（-x-y）=x2-y2，故C正确；
（-x-y）（-x-y）=x2+2xy+y2，故D错误．
故选：C．

【点睛】

本题主要考查的是多项式乘多项式和平方差公式，熟练掌握多项式乘多项式法则以及平方差公式是解题的关键．

6．下列运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据同底数幂相乘法则、积的乘方法则、同底数幂除法法则、平方差公式依次计算判断．

【详解】

A、，故该项错误；

B、，故该项正确；

C、，故该项错误；

D、，故该项错误；

故选：B．

【点睛】

此题考查整式的计算法则，正确掌握整式的同底数幂相乘法则、积的乘方法则、同底数幂除法法则、平方差公式是解题的关键．

7．若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（　　）

A．205 B．250 C．502 D．520

【答案】D

【分析】

利用平方差公式计算（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n•2＝8n，得到两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数，据此解答即可．

【详解】

解：根据平方差公式得：

（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n．

所以两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数

205，250，502都不能被8整除，只有520能够被8整除．

故选：D．

【点睛】

本题考查了新概念和平方差公式．熟练掌握平方差公式：a2-b2=（a-b）（a-b）是解题关键．

8．下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．

【详解】

解：A、原式=，不符合题意；
B、原式=，不符合题意；
C、原式=，符合题意；
D、原式=，不符合题意，
故选：C．

【点睛】

本题考查了平方差公式，关键是要熟练掌握并灵活运用平方差公式．

二、填空题

9．________．

【答案】-1

【分析】

先运用积的乘方法则，把算式化为底数相乘的幂，结合平方差公式进行计算．

【详解】

原式，

，

，

，

，

故答案为：-1．

【点睛】

本题主要考查了积的乘方，平方差公式，解题关键是熟练掌握运算法则．

10．________________．

【答案】1

【分析】

根据123456788及123456790分别比123456789少1和大1，因此可把表示成123456789与1的差与和的积的形式，因而用平方差公式即可完成．

【详解】

．

故答案为：1

【点睛】

本题考查了平方差公式的应用，关键是熟练掌握平方差公式的特点．

11．当时，的值为，则的值为____．

【答案】-15

【分析】

首先根据当x=1时，ax+b+1=-3，求出a+b的值是多少，然后把它代入（a+b+1）（1-a-b），求出算式的值是多少即可．

【详解】

解：∵当x=1时，ax+b+1的值为-3，

∴a+b+1=-3，

∴a+b=-4，

∴（a+b+1）（1-a-b）

=[（a+b）+1][1-（a+b）]

=1-（a+b）2

=1-（-4）2

=1-16

=-15．

故答案为：-15．

【点睛】

此题考查平方差公式，运用整体代入法是解决问题的关键．

12．已知，则的值为______．

【答案】1

【分析】

利用平方差公式把变形，再把m-n=1代入即可得答案．

【详解】

∵m-n=1，

∴

=(m+n)(m-n)-2n

=(m+n)-2n

=m-n

=1，

故答案为：1

【点睛】

本题考查整式的运算，熟练掌握平方差公式并运用整体代入的思想是解题关键.

13．若a2-b2＝6，a-b＝，则a+b的值为_____．

【答案】18．

【分析】

根据平方差公式解答即可．

【详解】

解：∵

∴．

故答案为：18

【点睛】

本题主要考查了平方差公式，熟记公式并能灵活应用是解答本题的关键．平方差公式：．

14．因式分解：__________________．

【答案】

【分析】

根据平方差公式即可得到答案．

【详解】

对用平方差公式，得:，

故答案为：．

【点睛】

本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．

15．如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是_____．

【答案】30

【分析】

直接利用正方形的性质结合三角形面积求法，利用平方差公式即可得出答案．

【详解】

解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，

故阴影部分的面积是：AE•BC+AE•BD＝AE（BC+BD）

＝（AB﹣BE）（BC+BD）

＝（a﹣b）（a+b）

＝（a2﹣b2）

＝×60

＝30．

故答案为：30．

【点睛】

本题主要考查平方差公式与几何图形和三角形的面积公式，用代数式表示阴影部分的面积，是解题的关键．

16．计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=______（结果可用幂的形式表示）

【答案】232-1

【分析】

先添加因式（2-1），然后连续多次运用平方差公式进行计算即可．

【详解】

解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1），
=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1），
=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1），
=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1），
=（28-1）（28+1）（216+1），

=（216+1）（216-1）
=232-1．

故答案为：232-1．

【点睛】

本题主要考查平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2的利用，添加因式（2-1），构造出平方差公式的结构是利用公式的关键，也是解本题的难点．

三、解答题

17．已知，求代数式的值．

【答案】2

【分析】

先按照平方差公式展开与多项式去括号后，合并同类项，化简代数式，再把变形后，整体代入求值即可．

【详解】

解：，

，

．

∵，

∴．

∴原式，

．

【点睛】

本题考查的是整式化简求值，掌握利用平方差公式进行简便运算，去括号法则，同类项与同类项合并法则，整体代入求值是解题的关键．

18．计算：（1）

（2）

【答案】（1）2；（3）-3

【分析】

（1）根据平方差公式计算即可；

（2）根据实数混合运算法则计算即可．

【详解】

解：（1）原式

（2）原式

．

【点睛】

本题主要考查了实数的运算以及平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式以及实数混合运算法则．

19．先化简，再求值：（x-3）（x+3）-（x2-2x+1），其中x＝．

【答案】2x-10，-9

【分析】

首先利用平方差进行计算，再去括号合并同类项，化简后，再代入x的值计算即可．

【详解】

（x-3）（x+3）-（x2-2x+1）

＝x2-9-x2+2x-1

＝2x-10，

当x＝时，原式＝2×-10＝1-10＝-9．

【点睛】

此题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的乘法公式，即可完成求解．

20．已知，求代数式的值．

【答案】－10

【分析】

先算乘法，再合并同类项，最后整体代入求出即可．

【详解】

解：

 ＝

 ＝

 ＝．

∵ ，

 ∴ ．

 ∴ 原式＝．

【点睛】

本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，用了整体代入思想，难度适中．

21．（1）已知：2x+3y-4=0，求4•8的值．

（2）已知5-a2-a＝0，求代数式（a+2）（a﹣2）+a（a+2）的值．

【答案】（1）16；（2）；6

【分析】

（1）根据幂的运算法则可得：）4•8=（2）•（2）=2；

（2）运用整式运算法则进行化简，再把已知式子化简后代入即可．

【详解】

解：（1）∵，

∴2x+3y=4，

∴4•8=（2）•（2）=2•2=2=2=16．

（2）

∵

∴ a2+a =5             

∴ 原式

【点睛】

考核知识点：整式化简求值．熟练掌握幂的运算法则和整式乘法法则是关键．

22．运用乘法公式计算

（1）                   

（2）

（3）                           

（4）

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

【分析】

（1）利用平方差公式计算即可；

（2）原式变形后，利用平方差公式计算即可；

（3）利用完全平方公式计算即可；

（4）利用多项式除以单项式的法则计算即可．

【详解】

解：（1）原式；

（2）原式；

（3）原式；

（4）原式．

【点睛】

本题考查了平方差公式，多项式除以单项式的法则以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．

23．计算：．

【答案】

【分析】

根据整式的混合运算法则进行计算即可求解．

【详解】

解：

．

【点睛】

本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算顺序、多项式除以单项式法则、平方差公式是解题关键．

24．先化简，再求值：，其中．

【答案】，

【分析】

根据整式乘法、整式加减法、平方差公式的性质化简，再结合代数式的性质计算，即可得到答案．

【详解】

∵

∴

．

【点睛】

本题考查了整式运算、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握整式乘法、整式加减法的性质，从而完成求解．

25．（1）对于算式；

不用计算器，你能计算出来吗？直接写出计算结果．

（2）你计算结果的个位数字是________．

（3）根据（1）推测．

【答案】（1）；（2）5；（3）

【分析】

（1）原式中变形为，利用平方差公式计算即可得到结果；

（2）归纳总结得到一般性规律，即可确定出结果的个位；

（3）利用平方差公式计算即可得到结果；

【详解】

解：（1）原式=

=

=

=

=

=

（2）21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，

依次以2，4，8，6循环，

∵2048÷4=512，∴的个位数字是6；

∴的个位数字是5；

（3）

【点睛】

此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

26．在边长为a的正方形的一角减去一个边长为的小正方形（），如图①

（1）由图①得阴影部分的面积为_______________；

（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，则图②中阴影部分的面积为_________________；

（3）由（1）（2）的结果得出结论：______________=_________________；

（4）利用（3）中得出的结论计算：

【答案】（1）；（2）；（3），；（4）

【分析】

（1）根据正方形的面积公式即可得到结论；
（2）根据梯形的面积公式即可得到结论；
（3）由（1）（2）的结论即可得到结果；
（4）根据平方差公式计算即可．

【详解】

（1）由图①得阴影部分的面积为；

故答案为：；
（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，

则图②中阴影部分的面积为；

故答案为：；

（3）由（1）（2）的结果得出结论：=；

故答案为：，；
（4）．

【点睛】

本题考查了平方差公式的几何背景，根据正方形的面积公式和梯形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键．