初中人教版14.1.3 积的乘方同步达标检测题

14.1.3积的乘方 培优卷

一、单选题

1．计算（）2019×32020 的结果为 （   ）．

A．1 B．3 C． D．2020

【答案】B

【分析】

直接利用积的乘方运算法则将原式变形求出答案．

【详解】

解：

＝3．

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了积的乘方运算，正确利用积的乘方法则将原式变形是解题关键．

2．计算的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

将化为使两个幂的指数相同，再利用积的乘方逆运算进行计算.

【详解】

，

故选：A.

【点睛】

此题考查幂的乘方逆运算，积的乘方逆运算，熟记公式是解题的关键.

3．下列代数式符合表中运算关系的是（    ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

试题分析：根据表格所给的数，代入A可知0.5×0.25-1=2，故不正确；代入B可得0.52×0.25-1=0.5×4=1，32×3-1=3，故正确；代入C可知0.52×0.25=0.0625，故正确；代入D可知0.5-1×0.252=0.125，故不正确.

故选：B.

点睛：此题主要考察了代数式的化简求值，解题关键是利用表格数值直接向各式中代入即可，且注意负整数指数的应用.

4．(－23) 2等于 (    )

A．45 B．46 C．49 D．－46

【答案】B

【解析】

试题分析：根据积的乘方，等于各个因式分别乘方，可知(－23) 2=46.

故选B.

5．下列运算正确的是 (    )

A．x10÷(x4÷x2)=x8 B．(xy) 6÷(xy) 2=(xy) 3=x3y3

C．xn+2÷xn+1=x－n D．x4n÷x2n x3n=x－n

【答案】A

【解析】

试题分析：根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可知x10÷(x4÷x2)=x8，故正确；

根据同底数幂相除和积的乘方，可知(xy) 6÷(xy) 2=(xy) 4=x4y4，故不正确；

根据同底数幂相除，可知xn+2÷xn+1 =x，故不正确；

根据同底数幂相乘除和混合运算的顺序，可知x4n÷x2n x3n=x5n，故不正确.

故选A

6．计算：（    ）

A．1 B．-1 C．2 D．-2

【答案】D

【分析】

根据积的乘方和幂的乘方的运算法则进行巧算．

【详解】

解：

．

故选：D．

【点睛】

本题考查积的乘方和幂的乘方的运算，解题的关键是利用进行巧算．

7．计算的结果是( )

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

利用积的乘方法则：积的乘方，先把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算即可．

【详解】

解：．

故选：C．

【点睛】

此题考查了积的乘方的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．

8．计算等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

逆用积的乘方进行计算即可．

【详解】

解：

=

=

=1×（-4）

=-4

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了积的乘方，掌握和运用公式是解答此题的关键．

二、填空题

9．=____．若2•4m•8m=221，则m=____．

【答案】8    4   

【分析】

（1）根据积的乘方运算的逆运算即可求解.

（2）根据同底数幂的性质即可求解.

【详解】

解：

=

=

=

=8

2•4m•8m=221

即：

∴5m+1=21

m=4

【点睛】

此题主要考查积的乘方运算的逆运算和同底数幂的性质，熟练掌握积的乘方运算法则及逆运算和两个同底数幂相等可得指数相等是解题关键.

10．计算： =_______.

【答案】

【解析】试题分析：根据同底数幂的性质和积的乘方，可知===.

11．计算：=_________．

【答案】

【解析】

原式==

12．计算：﹣82017×0.1252017=​___________

【答案】

【解析】试题分析：根据积的乘方，等于各个因式分别乘方，可知﹣82017×0.1252017=-=-1.

13．0．1252008×82009=_____________．

【答案】8

【解析】

试题分析：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可知0．1252008×82009==1×8=8.

14．计算：______．

【答案】9

【分析】

由同底数幂相乘的逆运算，积的乘方的逆运算进行计算，即可求出答案．

【详解】

．

故答案为：9．

【点睛】

本题考查了同底数幂相乘的逆运算，积的乘方的逆运算，解题的关键是掌握运算法则进行计算．

15．计算（-8）2018×（-0.125）2019的结果是______

【答案】

【分析】

先根据同底数幂乘法进行逆变形，然后根据积的乘方进行计算即可解答．

【详解】

（-8）2018×（-0.125）2019

=（-8）2018×（-0.125）2018×（-0.125）

=[（-8）×（-0.125）]2018×（-0.125）

=-0.125

=

故答案：．

【点睛】

本题考查了幂的乘方与积的乘方，能灵活运用积的乘方进行计算是解此题的关键．

16．计算的结果是_____________．

【答案】4

【分析】

根据积的乘方和幂的乘方进行计算即可得到答案.

【详解】

故答案为：4

【点睛】

此题主要考查了积的乘方和幂的乘方，掌握运算法则是解答此题的关键.

三、解答题

17．已知，求的值.

【答案】14

【分析】

先将与写成含有的形式即、，再将代入求值即可.

【详解】

∵，

∴原式.

【点睛】

此题考察代入求值，根据已知的条件将所给式子进行变形是解题的关键.

18．计算：＝________.

【答案】2

【分析】

利用同底数幂的乘法运算将原式变形，再利用积的乘方求出结果.

【详解】

解：（-2）2020）2019

=22020）2019

=222019）2019

=2）2019

=2

=2

【点睛】

此题考察整式乘法公式的运用，准确变形是解题的关键.

19．找规律：观察算式

13＝1

13+23＝9

13+23+33＝36

13+23+33+43＝100

…

（1）按规律填空）

13+23+33+43+…+103＝　           ；

13+23+33+43+…+n3＝　           ．

（2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程）

（3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程）

【答案】（1）；；（2）1622600；（3）

【分析】

（1）观察等式右边都是平方数，且底数正好是等式左边各底数的和，依此规律类推可分别解决以上两个问题；

（2）由于上面的等式都是从底数是1开始的，所以可以把该式子前面的部分从1开始补上，再把补上的部分减掉即可；

（3）该式中的底数并不是题干中所给出的从1开始的连续整数，因此不能直接用上述规律解题，但该式中的底数却都是从1开始的连续整数的2倍，因此提出2后，各项都含有，逆用乘法分配律即可解决问题．

【详解】

解：（1）13+23+33+43+…+103＝（1+2+3+4+…+10）2＝；

13+23+33+43+…+n3＝（1+2+3+4+…+n）2＝；

（2）113+123+133+143+…+503＝（13+23+33+43+…+503）-（13+23+33+43+…+103）

＝

＝1622600；

（3）23+43+63+…+983+1003＝（2×1）3+（2×2）3+（2×3）2+（2×4）3+…+（2×50）3＝23×（13+23+33+43+…+503）

＝23×＝．

【点睛】

本题属于数式规律题，考查了学生对数的观察和分析的能力，首先学生应对平方数有一定的认识和感知力，这样才能迈出解决问题的第一步，其次学生要学会对不同的数进行关联，通过它们的和差积商中的一种或多种组合找到它们的联系，才能得出这道题的规律，建议在学习过程中多积累相关经验，发散思维，提高解决该类问题的效率．

20．用简便方法计算：

（1）；

（2）；

（3） .

【答案】（1）1；（2）-8；（3）8

【分析】

（1）此题逆用积的乘方，即进行计算；（2）先将812写成，再将与相乘，最后化简结果即可；（3）将26写成43，将212写成84，再将43与0.253相乘，将84与0.1253相乘，再将乘积相乘即可得到答案.

【详解】

（1）

=1；

（2）

=-8；

（3）

=8.

【点睛】

此题考察整式的乘法公式的逆用，（2）中将812分解为是解题关键，从而将811与0.12511相乘；（3）中需将26写成43，将212写成84，再将43与0.253相乘，将84与0.1253相乘，再将乘积相乘.

21．计算：

（1）(0.25)100×4100；

（2）0.24×0.44×12.54．

【答案】（1）1（2）1

【解析】

试题分析：根据积的乘方等于各因式分别乘方的逆用即可求解.

试题解析：（1）

=1

（2）

=1

22．计算：.

【答案】

【分析】

先将两个乘数的次数依据同底数幂乘法写成相同的次数，再将同次数的乘数依据积的乘方逆运算相乘，最后化简结果即可.

【详解】

.

【点睛】

此题是高次数的因数相乘，将次数写成相等的形式是解题的关键，再根据积的乘方逆运算算出乘积，最后再化简结果.

23．解答下列问题：

（1）已知，，求的值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）1500；（2）27

【分析】

（1）先逆用积的乘方和幂的乘方运算法则，然后将已知代入即可解答；

（1）先由得3x+4y=3，然后逆用积的乘方和幂的乘方运算法则将

【详解】

解：（1）∵，，

∴；

（2）∵，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查了积的乘方和幂的乘方法则的逆用，灵活应用相关运算法则是解答本题的关键．

24．计算

（1）    （2）  （3）    （4）   （5）

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）1.

【分析】

（1）（2）（3）根据幂的乘方法则直接计算即可；

（4）先算幂的乘方，再算同底数幂乘法；

（5）先逆用幂的乘方变形，然后逆用积的乘方进行计算.

【详解】

解：（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）原式.

【点睛】

本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识.

25．如果，那么我们规定．例如：因为，所以．

（1）（理解）根据上述规定，填空：（2，8）=         ，         ；

（2）（说理）记，，．试说明：；

（3）（应用）若，求t的值．

【答案】（1）3，－2；（2）见解析；（3）80

【分析】

（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；
（2）根据积的乘方法则，结合定义计算；
（3）根据定义解答即可．

【详解】

（1）23=8，（2，8）=3，

，（2，）=-2，

故答案为：3；-2；

（2）∵（4，12）=，（4，5）=，（4，60）=，
∴，，，

∵，

∴，

∴，

∴；

（3）设（m，16）=，（m，5）=，（m，t）=，

∴，，，

∵，

∴，

∴，

∴，即，

∴．

【点睛】

本题考查了幂的乘方和积的乘方以及新定义下的实数运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．

26．计算：

【答案】.

【分析】

原式利用幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的乘法运算法则计算，合并即可得到结果．

【详解】

．

【点睛】

本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键．