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初中数学11.1.2 三角形的高、中线与角平分线第2课时导学案
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这是一份初中数学11.1.2 三角形的高、中线与角平分线第2课时导学案，共7页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.了解三角形的高、中线与角平分线的概念.
2.准确区分三角形的高、中线与角平分线.
3.掌握与三角形的高、中线和角平分线有关的计算.
学习策略
1.结合实际区分三角形的高、中线和角平分线；
2.学生自助探索三角形的高、中线与角平分线的交点情况.
学习过程
一.复习回顾：
问题1:数一数,图中共有多少个三角形?请将它们全部用符号表示出来.
问题2:利用长为3,5,6,9的四条线段可以组成几个三角形?为什么?
问题3:利用△ABC的一条边长为4 cm,面积是24 cm2这两个条件,你能得出什么结论?
二.新课学习：
探究1:通过作图探索三角形的高
问题1:你能画出下列三角形的所有的高吗?
问题2:根据画高的过程说明什么叫三角形的高?
问题3:在这些三角形中你能画出几条高?它们有什么相同点和不同点?
问题4:如图所示,如果AD是△ABC的高,你能得到哪些结论?
探究2:类比探索三角形的高的过程探索三角形的中线
问题1:如图,如果点C是线段AB的中点,你能得到什么结论?
问题2:如图,如果点D是线段BC的中点,那么线段AD就称为△ABC的中线.类比三角形的高的概念,试说明什么叫三角形的中线?由三角形的中线能得到什么结论?
问题3:画出下列三角形的所有的中线,并讨论说明三角形的中线有什么特点?
问题4:如图所示,在△ABC中,AD是△ABC的中线,AE是△ABC的高.试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系?为什么?
问题5:通过问题4你能发现什么规律?
探究3:通过类比的方法探究三角形的角平分线
问题1:如图,若OC是∠AOB的平分线,你能得到什么结论?
问题2:如图,在△ABC中,如果∠BAC的平分线AD交BC边于点D,我们就称AD是△ABC的角平分线.类比探索三角形的高和中线的过程,你能得到哪些结论?三角形的角平分线与角的角平分线相同吗?为什么?
三.尝试应用：
1.如图,在△ABC中画出这个三角形的高BD,中线CE和角平分线BF.
2.如图,已知AD,BE,CF都是△ABC的中线,则AE= = QUOTE ,BC=2 ,AF= .
3.如图,已知AD,BE,CF都是△ABC的角平分线,则∠1= QUOTE ,∠2= = QUOTE ,∠ABC=2 .
4.如图,在△ABC中,AC=12 cm,BC=18 cm,△ABC的高AD与BE的比是多少?
5.如图,在直角三角形中,AC⊥BC,AC=8,BC=6,AB=10,求顶点C到边AB的高.
6.如图,在△ABC中,AD是角平分线,DE∥AC,DF∥AB.试判断∠3和∠4的关系,并说明理由.
7.利用所学知识将三角形分成面积相等的四部分.(至少画出4种)
四.自主总结：
1.(1)从三角形的一个顶点向它的对边____________,顶点和__________间的__________叫做三角形的高.(2)在三角形中.连接一个__________和它的_________的__________叫做三角形的中线.三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的__________.(3)三角形的一个角的_______与这个角的__________相交,连接__________的_____________叫做三角形的角平分线.
2.三角形的__________确定了.那么三角形的形状就确定了.这个性质叫做下角形的稳定性.而四边形具有_______稳定性.
五.达标测试
一、选择题
1.下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A．B．C．D．
2.如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（ ）
A．2B．3C．6D．不能确定
3.如果AD是△ABC的中线，那么下列结论一定成立的有（ ）
①BD=CD；②AB=AC；③S△ABD=S△ABC．
A．3个B．2个C．1个D．0个
二、填空题
4.如图，把手机放在一个支架上面，就 可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的____性．
5.如图，AD是△ABC的中线，G是AD上的一点，且AG=2GD，连接BG，若S△ABC=6，则图中阴影部分面积是_______．
6.如图，AD，CE是△ABC的高，已知AD=10，CE=9，AB=12，则BC=_________．
三、解答题
7.如图．AD是△ABC的角平分线，点P为AD上一点，PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，求证：PA平分∠MPN．
8.如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm．
（1）求△ABD与△ACD的周长之差．
（2）若AB边上的高为2cm，求AC边上的高．
9.在△ABC中，AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．
参考答案
1.D 解析：根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高．
2.A 解析：∵BD是△ABC的中线，∴AD=CD，∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）-（BC+BD+CD）=AB-BC=5-3=2．
3.B 解析：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD=BC，故①正确；∵AD与BC不一定互相垂直，∴AB与AC不一定相等，故②错误；设△ABC中BC边上的高为h，则S△ABD=•BD•h=•BC•h=S△ABC，故③正确．
4.稳定性
5.2 解析：∵S△ABC=6，∴S△ABD=3，∵AG=2GD，∴S△ABG=2.
6. 解析：∴△ABC的面积=AB•CE=BC•AD，∴AB•CE=BC•AD，∵AD=10，CE=9，AB=12，∴BC==．
7.证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵PM∥AC，PN∥AB,∴∠APM=∠PAN，∠APN=∠PAM，∴∠APM=∠APN，∴PA平分∠MPN．
8.解：（1）∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB+BD+AD-AC-CD-AD=AB-AC=5-3=2（cm）；
（2）设AC边上的高为hcm，则S△ABC=AB•2=AC•h，解得，h=（cm）．答：求△ABD与△ACD的周长之差2cm，AC边上的高cm．
9.解：∵AD是BC边上的中线，AC=2BC，∴BD=CD，设BD=CD=x，AB=y，则AC=4x，分为两种情况：
AC+CD=60，AB+BD=40，则
4x+x=60， x=12
x+y=40，解得， y=28， 即AC=4x=48，AB=28；
②AC+CD=40，AB+BD=60，则
4x+x=40， x=8，
x+y=60，解得, y=52， 即AC=4x=32，AB=52，BC=2x=16，此时不符合三角形三边关系定理；综合上述：AC=48，AB=28．
1.了解三角形的高、中线与角平分线的概念.
2.准确区分三角形的高、中线与角平分线.
3.掌握与三角形的高、中线和角平分线有关的计算.
学习策略
1.结合实际区分三角形的高、中线和角平分线；
2.学生自助探索三角形的高、中线与角平分线的交点情况.
学习过程
一.复习回顾：
问题1:数一数,图中共有多少个三角形?请将它们全部用符号表示出来.
问题2:利用长为3,5,6,9的四条线段可以组成几个三角形?为什么?
问题3:利用△ABC的一条边长为4 cm,面积是24 cm2这两个条件,你能得出什么结论?
二.新课学习：
探究1:通过作图探索三角形的高
问题1:你能画出下列三角形的所有的高吗?
问题2:根据画高的过程说明什么叫三角形的高?
问题3:在这些三角形中你能画出几条高?它们有什么相同点和不同点?
问题4:如图所示,如果AD是△ABC的高,你能得到哪些结论?
探究2:类比探索三角形的高的过程探索三角形的中线
问题1:如图,如果点C是线段AB的中点,你能得到什么结论?
问题2:如图,如果点D是线段BC的中点,那么线段AD就称为△ABC的中线.类比三角形的高的概念,试说明什么叫三角形的中线?由三角形的中线能得到什么结论?
问题3:画出下列三角形的所有的中线,并讨论说明三角形的中线有什么特点?
问题4:如图所示,在△ABC中,AD是△ABC的中线,AE是△ABC的高.试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系?为什么?
问题5:通过问题4你能发现什么规律?
探究3:通过类比的方法探究三角形的角平分线
问题1:如图,若OC是∠AOB的平分线,你能得到什么结论?
问题2:如图,在△ABC中,如果∠BAC的平分线AD交BC边于点D,我们就称AD是△ABC的角平分线.类比探索三角形的高和中线的过程,你能得到哪些结论?三角形的角平分线与角的角平分线相同吗?为什么?
三.尝试应用：
1.如图,在△ABC中画出这个三角形的高BD,中线CE和角平分线BF.
2.如图,已知AD,BE,CF都是△ABC的中线,则AE= = QUOTE ,BC=2 ,AF= .
3.如图,已知AD,BE,CF都是△ABC的角平分线,则∠1= QUOTE ,∠2= = QUOTE ,∠ABC=2 .
4.如图,在△ABC中,AC=12 cm,BC=18 cm,△ABC的高AD与BE的比是多少?
5.如图,在直角三角形中,AC⊥BC,AC=8,BC=6,AB=10,求顶点C到边AB的高.
6.如图,在△ABC中,AD是角平分线,DE∥AC,DF∥AB.试判断∠3和∠4的关系,并说明理由.
7.利用所学知识将三角形分成面积相等的四部分.(至少画出4种)
四.自主总结：
1.(1)从三角形的一个顶点向它的对边____________,顶点和__________间的__________叫做三角形的高.(2)在三角形中.连接一个__________和它的_________的__________叫做三角形的中线.三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的__________.(3)三角形的一个角的_______与这个角的__________相交,连接__________的_____________叫做三角形的角平分线.
2.三角形的__________确定了.那么三角形的形状就确定了.这个性质叫做下角形的稳定性.而四边形具有_______稳定性.
五.达标测试
一、选择题
1.下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A．B．C．D．
2.如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（ ）
A．2B．3C．6D．不能确定
3.如果AD是△ABC的中线，那么下列结论一定成立的有（ ）
①BD=CD；②AB=AC；③S△ABD=S△ABC．
A．3个B．2个C．1个D．0个
二、填空题
4.如图，把手机放在一个支架上面，就 可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的____性．
5.如图，AD是△ABC的中线，G是AD上的一点，且AG=2GD，连接BG，若S△ABC=6，则图中阴影部分面积是_______．
6.如图，AD，CE是△ABC的高，已知AD=10，CE=9，AB=12，则BC=_________．
三、解答题
7.如图．AD是△ABC的角平分线，点P为AD上一点，PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，求证：PA平分∠MPN．
8.如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm．
（1）求△ABD与△ACD的周长之差．
（2）若AB边上的高为2cm，求AC边上的高．
9.在△ABC中，AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．
参考答案
1.D 解析：根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高．
2.A 解析：∵BD是△ABC的中线，∴AD=CD，∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）-（BC+BD+CD）=AB-BC=5-3=2．
3.B 解析：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD=BC，故①正确；∵AD与BC不一定互相垂直，∴AB与AC不一定相等，故②错误；设△ABC中BC边上的高为h，则S△ABD=•BD•h=•BC•h=S△ABC，故③正确．
4.稳定性
5.2 解析：∵S△ABC=6，∴S△ABD=3，∵AG=2GD，∴S△ABG=2.
6. 解析：∴△ABC的面积=AB•CE=BC•AD，∴AB•CE=BC•AD，∵AD=10，CE=9，AB=12，∴BC==．
7.证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵PM∥AC，PN∥AB,∴∠APM=∠PAN，∠APN=∠PAM，∴∠APM=∠APN，∴PA平分∠MPN．
8.解：（1）∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB+BD+AD-AC-CD-AD=AB-AC=5-3=2（cm）；
（2）设AC边上的高为hcm，则S△ABC=AB•2=AC•h，解得，h=（cm）．答：求△ABD与△ACD的周长之差2cm，AC边上的高cm．
9.解：∵AD是BC边上的中线，AC=2BC，∴BD=CD，设BD=CD=x，AB=y，则AC=4x，分为两种情况：
AC+CD=60，AB+BD=40，则
4x+x=60， x=12
x+y=40，解得， y=28， 即AC=4x=48，AB=28；
②AC+CD=40，AB+BD=60，则
4x+x=40， x=8，
x+y=60，解得, y=52， 即AC=4x=32，AB=52，BC=2x=16，此时不符合三角形三边关系定理；综合上述：AC=48，AB=28．
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