高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）练习

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1．函数值y随自变量x变化的一组数据如下表，判断它最可能的函数模型是( A )

A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
【解析】 随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数，即一次函数模型，故选A.
2．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( C )
A．16小时 B．20小时
C．24小时 D．28小时
【解析】 由已知得192＝eb，①
48＝e22k＋b＝e22k·eb，②
将①代入②得e22k＝ eq \f(1,4) ，则e11k＝ eq \f(1,2) ，
当x＝33时，y＝e33k＋b＝e33k·eb＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(3) ×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故选C.
3．一种放射性元素最初的质量为500 g，按每年10%衰减，则这种放射性元素的半衰期为(注：剩留量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期．精确到0.1.参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)( B )
A．5.2年 B．6.6年
C．7.1年 D．8.3年
【解析】 设半衰期为x年，则有500(1－10%)x＝250，
即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,10))) eq \s\up12(x) ＝ eq \f(1,2) ，取对数得，x(lg 9－1)＝－lg 2，
所以x＝ eq \f(lg 2,1－2lg 3)≈ eq \f(0.301 0,1－2×0.477 1) ≈6.6.
4．某种产品今年的产量是a，如果保持每年5%的增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( D )
A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%
C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x
【解析】 经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，……，经过x年，y＝a(1＋5%)x.
5． eq \a\vs4\al(【多选题】) 根据右图的统计图得到的以下说法中正确的是( AC )
A．生活费收入指数增长最快的一年是2017年
B．生活价格指数上涨速度最快的一年是2018年
C．虽然2019年的生活费收入增长缓慢，但生活价格指数略有降低，因而生活水平有较大的改善
D．2018年生活价格指数上涨的速度与2019年生活价格指数下降的速度相同
【解析】 “生活费收入指数”在2017－2018年最陡，故A正确；“生活价格指数”在2018－2019年比较平缓，故B错误；2019年“生活价格指数”呈下降趋势，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故C正确；2018年生活价格指数上涨的速度与2019年生活价格指数下降的速度不同，故D错误，故选AC.
6．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系式：y＝alg3(x＋2).观测发现2020年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2026年冬越冬白鹤有( C )
A．4 000只
B．5 000只
C．6 000只
D．7 000只
【解析】 当x＝1时，3 000＝alg3(1＋2)，解得a＝3 000，
所以到2026年冬，即第7年，y＝3 000×lg3(7＋2)＝6 000.
二、填空题
7．据统计，计算机成本在不断降低，若每隔3年计算机价格降低 eq \f(1,3) ，现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格为__2__400__元．
【解析】 依题意得，8 100 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3))) eq \s\up12(3) ＝8 100× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(3) ＝2 400 (元).
8．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v＝2 000·ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m))) .当燃料质量是火箭质量的__e6－1__倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
【解析】 当v＝12千米/秒＝12 000米/秒时，有
2 000·ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m))) ＝12 000，
所以ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m))) ＝6，所以 eq \f(M,m) ＝e6－1.
9．地震的等级是用里氏震级M表示，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是地震时的最大振幅，A0是“标准地震的振幅”(使用标准地震振幅是为了修正测量中的误差).一般5级地震的震感已比较明显，则8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的__1__000__倍．
【解析】 因为8＝lg A1－lg A0，5＝lg A2－lg A0，所以A1＝108A0，A2＝105A0，所以A1∶A2＝108A0∶105A0＝1 000.
三、解答题
10．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，前10万元按销售利润的15%进行奖励，若超出部分为t万元，则超出部分按lg5(2t＋1)万元进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元).
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员小王获得3.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
解：(1)由题意可知，当0当x>10时，前10万元按销售利润的15%进行奖励，即奖励1.5万元，超出的(x－10)万元按lg5[2(x－10)＋1]＝lg5(2x－19)万元进行奖励．
所以奖金y关于销售利润x的关系式为
y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0.15x，010.))
(2)∵y＝3.5，∴x>10，∴1.5＋lg5(2x－19)＝3.5，解得x＝22，
故小王的销售利润为22万元．
[B级 素养养成与评价]
11．在固定电压(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为( D )
A．60安
B．240安
C．75安
D．135安
【解析】 由已知，设比例常数为k，则I＝k·r3.由题意，当r＝4时，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝ eq \f(320,64) ＝5，所以I＝5r3.
故当r＝3时，I＝5×33＝135(安).
12．2020年经过短暂的网课学习后，学生们回到校园开始了正常的学习生活．为了提高学生的学习效率，某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，14))时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(14，40))时，曲线是函数y＝83＋lga eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－5)) ，a>0且a≠1图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．
(1)试求p＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t)) 的函数关系式；
(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲解完？请说明理由．
解：(1)由图象可得，
p＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t)) ＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－12))\s\up12(2)＋82，0(2)当t∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，14))时，令－ eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－12)) eq \s\up12(2) ＋82≥80，
解得12－2 eq \r(2) ≤t≤14；
当t∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(14，40))时，令83＋lg eq \s\d9(\f(1,3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－5)) ≥80⇒lg3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－5)) ≤3＝lg327，解得14故t＝32－12＋2 eq \r(2) ＝20＋2 eq \r(2) >22，故老师可在学生听课效果最佳时讲解完．
13．节约资源和保护环境是中国的基本国策．某化工企业积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气
中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为2 mg/m3，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为1.94 mg/m3.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为r0，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为r1，则第n次改良后所排放的废气中含有的污染物数量rn可由函数模型rn＝r0－(r0－r1)·50.5n＋p(p∈R，n∈N*)给出，其中n是改良工艺的次数．
(1)试求改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；
(2)依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08 mg/m3，试问至少进行多少次改良工艺后，才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？(参考数据：lg 2≈0.3)
解：(1)由题意得r0＝2，r1＝1.94，
当n＝1时，r1＝r0－(r0－r1)·50.5＋p，
即1.94＝2－(2－1.94)·50.5＋p，
解得p＝－0.5，
所以rn＝2－0.06·50.5n－0.5(n∈N*)，
即改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为
rn＝2－0.06·50.5n－0.5(n∈N*).
(2)由题意得rn＝2－0.06·50.5n－0.5≤0.08，
整理得50.5n－0.5≥ eq \f(1.92,0.06) ＝32，
两边取常用对数得(0.5n－0.5)lg 5≥lg 32⇒n≥2× eq \f(5lg 2,1－lg 2)＋1，
将lg 2≈0.3代入得n≥2× eq \f(5×0.3,1－0.3) ＋1≈5.3.
因为n∈N*，所以n≥6，
所以至少进行6次改良工艺后，才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27