高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念综合训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念综合训练题，共6页。

1．若α＝－ eq \f(π,3) ，则α的终边与单位圆的交点P的坐标是( D )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))
B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))
D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))
【解析】 因为α＝－ eq \f(π,3) ，所以α的终边与单位圆的交点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2))) .
2．计算sin 1 140°等于( D )
A．－ eq \f(1,2) B． eq \f(1,2)
C． eq \f(\r(2),2) D． eq \f(\r(3),2)
【解析】 因为1 140°＝3×360°＋60°，所以sin 1 140°＝sin 60°＝ eq \f(\r(3),2) .
3． eq \a\vs4\al(【多选题】) 若角α的终边过点P(－3，－2)，则( ABC )
A．sin αtan α＜0
B．cs αtan α＜0
C．sin αcs α＞0
D．sin αcs α＜0
【解析】 由P(－3，－2)可得r＝ eq \r(13) .
∴sin α＝－ eq \f(2,\r(13)) ＜0，cs α＝ eq \f(－3,\r(13)) ＜0，tan α＝ eq \f(2,3) ＞0.
∴sin αtan α＜0，cs αtan α＜0，sin αcs α＞0.
故ABC正确．
4．已知角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α＜0，又P(m，n)是角α终边上一点，且m2＋n2＝10，则m－n等于( A )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
【解析】 由题意知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n＝3m，,m2＋n2＝10,m＜0)) ，⇒ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＝1，,m＜0，))
∴m＝－1，n＝－3.∴m－n＝2，故选A.
5．如果点P(sin θ＋cs θ，sin θcs θ)位于第二象限，那么角θ的终边在( C )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 由题意知，sin θ＋cs θ＜0，且sin θcs θ>0，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin θ＜0，,cs θ＜0，)) 所以角θ的终边在第三象限．
6．sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11π,6))) ＋cs eq \f(12π,5) ·tan 4π等于( D )
A．－ eq \f(\r(3),2) B． eq \f(\r(3),2)
C．－ eq \f(1,2) D． eq \f(1,2)
【解析】 原式＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2π＋\f(π,6))) ＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(2π,5))) tan (4π＋0)＝sin eq \f(π,6) ＋cs eq \f(2π,5) ×0＝ eq \f(1,2) .
7．若三角形的两内角α，β满足sin αcs β<0，则此三角形必为( B )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上三种情况都可能
【解析】 因为sin αcs β<0，α，β∈(0，π)，所以sin α>0，
cs β<0，所以β为钝角．
二、填空题
8．已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与射线y＝2x(x≤0)重合，则sin θ＝__－ eq \f(2\r(5),5) __．
【解析】 在射线y＝2x(x≤0)上取一点P(－1，－2)，
则点P与原点的距离r＝ eq \r(5) ，所以sin θ＝ eq \f(－2,\r(5)) ＝－ eq \f(2\r(5),5) .
9．已知角α的终边过点P(3，a)，且sin α＝－ eq \f(4,5) ，则a＝__－4__，cs α＝__ eq \f(3,5) __．
【解析】 sin α＝ eq \f(a,\r(32＋a2)) ＝－ eq \f(4,5) ，解得a＝－4，
所以cs α＝ eq \f(3,5) .
10．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin α＝ eq \f(1,5) ，则sin β＝__－ eq \f(1,5) __．
【解析】 ∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，∴设A(x，y)在α的终边上．
则B(x，－y)在角β的终边上．由sin α＝ eq \f(y,\r(x2＋y2)) ＝ eq \f(1,5) ，
可得sin β＝ eq \f(－y,\r(x2＋（－y）2)) ＝ eq \f(－y,\r(x2＋y2)) ＝－ eq \f(1,5) .
11．tan 405°－sin 450°＋cs 750°＝__ eq \f(\r(3),2) __．
【解析】 tan 405°－sin 450°＋cs 750°＝tan (360°＋45°)－sin (360°＋90°)＋cs (720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cs 30°＝1－1＋ eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(\r(3),2) .
12．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则 eq \f(sin α,|cs α|) ＋ eq \f(|sin α|,cs α) ＝__0__．
【解析】 当角α的终边在第二象限时， eq \f(sin α,|cs α|) ＋ eq \f(|sin α|,cs α) ＝－ eq \f(sin α,cs α) ＋ eq \f(sin α,cs α) ＝0；当角α的终边在第四象限时， eq \f(sin α,|cs α|) ＋ eq \f(|sin α|,cs α) ＝ eq \f(sin α,cs α) － eq \f(sin α,cs α) ＝0.综上， eq \f(sin α,|cs α|) ＋ eq \f(|sin α|,cs α) ＝0.
三、解答题
13．在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cs α＋tan α的值．
解：当角α的终边在射线y＝－ eq \f(3,4) x(x＞0)上时，
设终边上一点P(4x，－3x)，
所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5x，
所以sin α＝ eq \f(－3x,5x) ＝－ eq \f(3,5) ，
cs α＝ eq \f(4x,5x) ＝ eq \f(4,5) ，tan α＝ eq \f(－3x,4x) ＝－ eq \f(3,4) .
所以sin α－3cs α＋tan α＝－ eq \f(3,5) － eq \f(12,5) － eq \f(3,4) ＝－ eq \f(15,4) .
当角α的终边在射线y＝－ eq \f(3,4) x(x＜0)上时，
设终边上一点P′(4x，－3x)，
所以点P′到坐标原点的距离r＝|OP′|＝－5x，
所以sin α＝ eq \f(3,5) ，cs α＝－ eq \f(4,5) ，
tan α＝－ eq \f(3,4) .
所以sin α－3cs α＋tan α＝ eq \f(3,5) －3× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5))) － eq \f(3,4) ＝ eq \f(3,5) ＋ eq \f(12,5) － eq \f(3,4) ＝ eq \f(9,4) .
[B级 素养养成与评价]
14．已知角α的终边上一点P与点A(－3，2)关于y轴对称，角β的终边上一点Q与点A关于原点对称，那么sin α＋sin β的值等于( C )
A． eq \f(4\r(13),13) B．－ eq \f(4\r(13),13)
C．0 D． eq \f(\r(13),13)
【解析】 角α终边上一点P与点A(－3，2)关于y轴对称，则有P(3，2)，角β的终边上一点Q与点A关于原点O中心对称，有Q(3，－2).由三角函数的定义可知sin α＝ eq \f(2,\r(32＋22)) ＝ eq \f(2\r(13),13) ，
sin β＝ eq \f(－2,\r(32＋22)) ＝－ eq \f(2\r(13),13) .∴sin α＋sin β＝0.
15．已知角α的终边经过点P(3，4t)，且sin (2kπ＋α)＝－ eq \f(3,5) (k∈Z)，则t＝__－ eq \f(9,16) __．
【解析】 sin (2kπ＋α)＝sin α＝－ eq \f(3,5) <0，则角α的终边在第三或第四象限．又点P的横坐标是3，所以角α是第四象限角，所以t<0.又sin α＝ eq \f(4t,\r(9＋16t2)) ，即 eq \f(4t,\r(9＋16t2)) ＝－ eq \f(3,5) ，所以t＝－ eq \f(9,16) .
16．求下列三角函数值．
(1)cs (－1 050°)；
(2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,2))) ＋tan π－2cs 0＋tan eq \f(9π,4) －sin eq \f(7π,3) .
解：(1)因为－1 050°＝－3×360°＋30°，
所以cs (－1 050°)＝cs (－3×360°＋30°)＝cs 30°＝ eq \f(\r(3),2) .
(2)原式＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(π,2))) ＋tan π－2cs 0＋tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,4))) －sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,3))) ＝sin eq \f(π,2) ＋tan π－2cs 0＋tan eq \f(π,4) －sin eq \f(π,3) ＝1＋0－2＋1－ eq \f(\r(3),2) ＝－ eq \f(\r(3),2) .
17．已知角α的终边上一点P(－ eq \r(3) ，m)，且sin α＝ eq \f(\r(2),4) m，求cs α，tan α的值．
解：设点P与原点的距离为r，所以r＝ eq \r(3＋m2) ，
又sin α＝ eq \f(m,r) ＝ eq \f(m,\r(3＋m2)) ，由题意得 eq \f(m,\r(3＋m2)) ＝ eq \f(\r(2),4) m，
所以m＝0或m＝ eq \r(5) 或m＝－ eq \r(5) .
当m＝0时，r＝ eq \r(3) ，所以cs α＝－1，tan α＝0；
当m＝ eq \r(5) 时，r＝2 eq \r(2) ，所以cs α＝－ eq \f(\r(6),4) ，tan α＝－ eq \f(\r(15),3) ；
当m＝－ eq \r(5) 时，r＝2 eq \r(2) ，所以cs α＝－ eq \f(\r(6),4) ，tan α＝ eq \f(\r(15),3) .