数学必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质巩固练习

这是一份数学必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质巩固练习，共7页。

1．函数f(x)＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2π,5))) 的一个对称中心是( C )
A．(0，0) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,5)，0))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,5)，0)) D．(π，0)
【解析】 因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,5))) ＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,5)＋\f(2π,5))) ＝tan π＝0，
所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,5)，0)) 是f(x)的一个对称中心．
2．下列各式中正确的是( B )
A．tan 135°>tan 80°
B．tan eq \f(π,5) >tan eq \f(π,6)
C．tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,7))) >tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)))
D．tan eq \f(2π,5) 【解析】 因为tan 80°>0，tan 135°<0，所以选项A错误；由y＝tan x在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))) 上单调递增知，选项B正确，选项C错误；tan eq \f(8π,5) ＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(3π,5))) ＝tan eq \f(3π,5) ，由tan eq \f(3π,5) <0得tan eq \f(2π,5) >tan eq \f(8π,5) ，所以选项D错误．
3．下列函数中，在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) 上单调递增，且以π为周期的偶函数是( B )
A．y＝tan eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x)) B．y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(tan x))
C．y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin 2x)) D．y＝cs 2x
【解析】 作出y＝tan |x|的图象(图略)，可知y＝tan eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x)) 不是周期函数；y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin 2x)) 在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) 上不单调递增；y＝cs 2x在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) 上单调递减；根据y＝|tan x|的图象可知，y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(tan x)) 符合题意．
4．方程tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))) ＝ eq \r(3) 在区间[0，2π)上的解的个数是( B )
A．5 B．4 C．3 D．2
【解析】 由tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))) ＝ eq \r(3) ，得2x＋ eq \f(π,3) ＝ eq \f(π,3) ＋kπ，k∈Z，所以x＝ eq \f(kπ,2) ，k∈Z，又x∈[0，2π)，所以x＝0， eq \f(π,2) ，π， eq \f(3π,2) ，故选B.
5．下列关于函数y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))) 的说法正确的是( B )
A．在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6))) 上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0)) 成中心对称
D．图象关于直线x＝ eq \f(π,6) 成轴对称
【解析】 令kπ－ eq \f(π,2) 6． eq \a\vs4\al(【多选题】) 已知函数f(x)＝tan x，对任意x1，x2∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))) (x1≠x2)，给出下列结论，正确的是( AC )
A．f(x1＋π)＝f(x1)
B．f(－x1)＝f(x1)
C． eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2) ＞0
D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2))) ＞ eq \f(f（x1）＋f（x2）,2) (x1x2＞0)
【解析】 对于A，由于f(x)＝tan x的周期为π，所以A项正确；对于B，函数f(x)＝tan x为奇函数，所以B项不正确；对于C，式子 eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2) ＞0说明函数单调递增，而f(x)＝tan x在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))) 上单调递增，所以C项正确；对于D，由函数f(x)＝tan x的图象可知，函数在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0)) 上有f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2))) ＞ eq \f(f（x1）＋f（x2）,2) ，在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) 上有f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2))) ＜ eq \f(f（x1）＋f（x2）,2) ，所以D项不正确．综上可知，正确的为AC.
二、填空题
7．函数y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))) 的最小正周期为__ eq \f(π,2) __，图象的对称中心为__ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,4)＋\f(π,8)，0)) (k∈Z)__．
【解析】 周期T＝ eq \f(π,2) ；由2x－ eq \f(π,4) ＝ eq \f(kπ,2) (k∈Z)得x＝ eq \f(kπ,4) ＋ eq \f(π,8) (k∈Z)，
∴对称中心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,4)＋\f(π,8)，0)) (k∈Z).
8．函数y＝ eq \r(－tan x) ＋ eq \r(cs x) 的定义域为__ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)＜x≤2kπ，k∈Z)))) __.
【解析】 由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－tan x≥0，,cs x≥0，)) 所以2kπ－ eq \f(π,2) ＜x≤2kπ，k∈Z，所以函数y＝ eq \r(－tan x) ＋ eq \r(cs x) 的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)＜x≤2kπ，k∈Z)))) .
9．函数y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))) 的单调递增区间是__ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(5π,12)，\f(kπ,2)＋\f(π,12))) (k∈Z)__.
【解析】 令kπ－ eq \f(π,2) <2x＋ eq \f(π,3) 10．已知函数y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))) ，则当x＝__ eq \f(π,4) __时，函数取得最大值为__4__．
【解析】 因为－ eq \f(π,4) ≤x≤ eq \f(π,4) ，所以－1≤tan x≤1.
令tan x＝t∈[－1，1]，所以y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5，
故当t＝1，即x＝ eq \f(π,4) 时，ymax＝4.
11．函数y＝|tan x|，y＝tan x，y＝tan (－x)，y＝tan |x|在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，\f(3π,2))) 上的大致图象依次是__①②④③__(填序号).
【解析】 ∵|tan x|≥0，∴图象在x轴上方，∴y＝|tan x|对应①；∵tan |x|是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴y＝tan |x|对应③；而y＝tan (－x)与y＝tan x的图象关于y轴对称，∴y＝tan (－x)对应④；y＝tan x对应②，故四个图象依次是①②④③.
三、解答题
12．设函数f(x)＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3))) .
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求不等式f(x)≤ eq \r(3) 的解集．
解：(1)由函数f(x)＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3))) ，
得 eq \f(x,2) － eq \f(π,3) ≠kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，
解得x≠2kπ＋ eq \f(5π,3) ，k∈Z，
故函数f(x)的定义域为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠2kπ＋\f(5π,3)，k∈Z)))) .
(2)因为f(x)≤ eq \r(3) ，
即tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3))) ≤ eq \r(3) ，
所以kπ－ eq \f(π,2) < eq \f(x,2) － eq \f(π,3) ≤kπ＋ eq \f(π,3) ，k∈Z，
解得2kπ－ eq \f(π,3) 故不等式f(x)≤ eq \r(3) 的解集为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(4π,3))) ，k∈Z．
[B级 素养养成与评价]
13．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2))) 内的图象是( D )
【解析】 当 eq \f(π,2) ＜x＜π时，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0；
当x＝π时，y＝0；
当π＜x＜ eq \f(3π,2) 时，tan x＞sin x，y＝2sin x．故选D.
14．若tan x＞tan eq \f(π,5) ，且x在第三象限，则x的取值范围是__ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(6π,5)，2kπ＋\f(3π,2))) (k∈Z)__．
【解析】 因为tan x＞tan eq \f(π,5) ＝tan eq \f(6π,5) ，又x为第三象限角，所以2kπ＋ eq \f(6π,5) 15．已知函数f(x)＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4))) .
(1)求f(x)的定义域；
(2)设β∈(0，π)，且f(β)＝2cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4))) ，求β的值．
解：(1)由x＋ eq \f(π,4) ≠kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z得x≠kπ＋ eq \f(π,4) ，k∈Z．
所以函数f(x)的定义域是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))) .
(2)依题意得tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4))) ＝2cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4))) ＝2cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β)) ＝2cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β)))) ，
所以 eq \f(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4))),cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))) ＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4))) ，
整理得sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4))) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))－1)) ＝0，
所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4))) ＝0或cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4))) ＝ eq \f(1,2) .
因为β∈(0，π)，所以β＋ eq \f(π,4) ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4))) ，
由sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4))) ＝0，得β＋ eq \f(π,4) ＝π，β＝ eq \f(3π,4) ，
由cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4))) ＝ eq \f(1,2) ，得β＋ eq \f(π,4) ＝ eq \f(π,3) ，β＝ eq \f(π,12) ，
所以β＝ eq \f(π,12) 或β＝ eq \f(3,4) π.
16．已知函数f(x)＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))) .
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x＋φ)是奇函数，则φ应满足什么条件？求出满足|φ|＜ eq \f(π,2) 的φ值．
解：(1)方法一：因为正切函数的周期是π.
所以y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))) 的周期是T＝ eq \f(π,2) .
方法二：由诱导公式知，tan eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＋\f(π,3))) ＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))) ，
即f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2))) ＝f(x)，所以f(x)的周期是 eq \f(π,2) .
(2)因为f(x＋φ)＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)＋2φ)) 是奇函数，
所以f(－x＋φ)＝－f(x＋φ)，
即tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,3)＋2φ)) ＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x－\f(π,3)－2φ)) ，
所以tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2φ)) ＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)－2φ)) ，
即 eq \f(π,3) ＋2φ＝－ eq \f(π,3) －2φ＋kπ，k∈Z．
所以φ＝ eq \f(kπ,4) － eq \f(π,6) (k∈Z).
令 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,4)－\f(π,6))) ＜ eq \f(π,2) (k∈Z)，解得－ eq \f(4,3) ＜k＜ eq \f(8,3) ，k∈Z．
所以k＝－1，0，1，2.
从而得φ＝－ eq \f(5π,12) ，－ eq \f(π,6) ， eq \f(π,12) ， eq \f(π,3) .