高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示第一课时导学案及答案

函数的概念

[课程目标] 1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素；2.能正确使用区间表示数集，会求简单函数的定义域、函数值和值域．

知识点一　函数的有关概念

　　[研读]函数就是两个非空实数集的元素之间按照一定规则建立起来的对应关系．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)定义域或值域为空集的函数不存在．(　√　)

(2)若给定A中每一个x值都有唯一的y值与之对应，则集合A就是函数的定义域．(　√　)

(3)符号y＝f表示“x对应的函数值”，f表示对应关系．(　√　)

【解析】 (1)因为A，B都是非空的实数集，所以定义域或值域为空集的函数不存在．

(2)根据定义域的概念知说法正确．

(3)根据函数的定义知说法正确．

知识点二　 区间表示

设a，b是两个实数，且a<b，我们规定：

(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做__闭__区间，表示为__[a，b]__；

(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做__开__区间，表示为__(a，b)__；

(3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做__半开半闭__区间，分别表示为__[a，b)__，__(a，b]__．

　　 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)区间是集合的另一种表达方式，开或闭不能混淆．(　√　)

(2)若是确定区间，则一定有a<b.(　√　)

(3)由于区间是表示数集的一种形式，因此对于集合的运算仍然成立．(　√　)

(4)“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则，以“－∞”或“＋∞”为区间的一个端点时，这一端必须用小括号．(　√　)

【解析】 (1)区间是一类特殊的连续数集的符号表示，因此是集合的另一种表示．

(3)集合的运算适用于区间之间的运算．

知识点三　同一个函数

1．函数的三要素：__定义域__、__对应关系__和__值域____．

2．如果两个函数的__定义域相同__，并且__对应关系完全一致__，我们就称这两个函数是同一个函数．

[研读]两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数．(　×　)

(2)解析式不同的两个函数不是同一个函数．(　×　)

(3)函数f(x)＝2x(x∈R)与g(t)＝2t(t∈R)不是同一个函数．(　×　)

(4)值域相同，对应关系相同的两个函数是同一个函数．(　×　)

【解析】 (1)不一定．因为定义域和值域不能确定函数的对应关系．如y＝x＋1与y＝x－1，两个函数的定义域和值域均为实数集R，但这两个函数不是同一个函数．

(2)不一定．如y＝|x|与y＝是同一个函数．

(3)函数f(x)＝2x(x∈R)与g(t)＝2t(t∈R)是同一个函数，函数的表示与字母的选择无关，只要函数的定义域和对应关系相同就是同一个函数．

(4)不一定．如y＝x2(x≥0)与y＝x2(x≤0)，值域相同，对应关系相同，但是定义域不同，不是同一个函数．

 教材拓展下列给出的四个图形中，是函数图象的是(　B　)

A．①②　　　　　　　B．①③④

C．①②③    D．①②③④

【解析】 根据函数的定义，对x∈A，都有唯一的y∈B和它对应，在图②中对应的y不唯一，所以不是函数图象，故选B.

 下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是(　B　)

A．y＝()2

B．y＝

C．y＝

D．y＝－1

【解析】 选项A中，y＝()2＝x(x≥0)，y≥0，定义域不同且值域不同，所以两个函数不是同一个函数；选项B中，y＝＝x(x∈R)，y∈R，对应关系相同，定义域和值域都相同，所以是同一个函数；选项C中，y＝，y≥0，与y＝x值域不同，且当x<0时，它的对应关系与函数y＝x不相同，所以不是同一个函数；选项D中，y＝－1的定义域为{x|x≠－1}，与函数y＝x的定义域不相同，所以不是同一个函数．

[规律方法]

1．判断对应关系是否构成函数，关键是判断两个方面，一是自变量x的取值是否任意，二是对应的y是否唯一．

2．判断两个函数是否相等，要根据函数的三要素来判断，即看函数的定义域、对应关系、值域是否一致，当三者都一致的时候，两个函数才是相同函数．

活学活用

1．下列各图中，可表示函数y＝f(x)图象的只可能是(　D　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　　D.

2．下列各组的两个函数属于同一个函数的是__③⑤__．(填序号)

①f(x)＝x－1，x∈R与g(x)＝x－1，x∈N；

②f(x)＝与g(x)＝·；

③y＝1＋与u＝1＋；

④y＝1与f(x)＝x0；

⑤f(x)＝x2－1与g(u)＝u2－1.

 求下列函数的定义域：

(1)y＝＋；　(2)y＝.

解：(1)由题意得⇒

所以函数的定义域为(－2，3)∪(3，＋∞).

(2)由题意得⇒

所以函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，0).

活学活用

求下列函数的定义域：

(1)y＝；　(2)y＝＋＋.

解：(1)由题意得x2＋x－1≠0⇔x≠，

所以函数定义域为.

(2)由题意得⇒

所以函数的定义域为[－5，－3)∪(－3，3)∪(3，5].

[规律方法]

1．求函数的定义域，其实质是以使函数的表达式所含运算有意义为原则，其原则有：①分式中分母不为零；②偶次根式中被开方数非负；③对于y＝x0，要求x≠0；④实际问题中函数定义域要考虑实际意义．

2．如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．

3．函数的定义域要用集合或区间的形式表示．

(1)若函数f(x)的定义域为[－2，1]，求函数f(2x＋1)的定义域；

(2)若函数f(x)的定义域为[－2，1]，求函数y＝f·f的定义域．

解：(1)若y＝f(2x＋1)有意义，

则－2≤2x＋1≤1，所以－≤x≤0，

所以函数f(2x＋1)的定义域为.

(2)若y＝f·f有意义，

则所以得－≤x≤.

所以函数y＝f·f的定义域为.

[规律方法]

因为f(g(x))就是用g(x)代替了f(x)中的x，所以g(x)的取值范围与f(x)中的x的取值范围相同．若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的x的取值范围；而已知f(g(x))的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求f(x)的定义域，就是求x∈[a，b]时g(x)的值域．

 已知函数f(x)＝3x2－2x－1，则f(－2)＝__15__；f(m－1)＝__3m2－8m＋4__；f[f(－1)]＝__39__．

【解析】 f(－2)＝3×(－2)2－2×(－2)－1＝15.

f(m－1)＝3(m－1)2－2(m－1)－1＝3m2－8m＋4.

因为f(－1)＝3×(－1)2－2×(－1)－1＝4，

所以f[f(－1)]＝f(4)＝3×42－2×4－1＝39.

活学活用

已知f(x)＝2x＋3，则f(1)＝__5__，f(a) ＝__2a＋3__，f(m＋n) ＝__2m＋2n＋3__，f[f(x)] ＝__4x＋9__．

【解析】 f(1)＝2×1＋3＝5；f(a)＝2a＋3；

f(m＋n)＝2(m＋n)＋3＝2m＋2n＋3；

f[f(x)]＝2f(x)＋3＝2(2x＋3)＋3＝4x＋9.

 求下列函数的值域：

(1)y＝x2－4x＋6 ，x∈[－2，3]；(2)y＝；

(3)y＝.

解： (1)∵y＝(x－2)2＋2，x∈[－2，3]，

∴y∈，所以值域为.

(2)∵y＝＝＝2－≠2，

∴y∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，

∴值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).

(3)令u＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1，则y＝，

∵u∈[1，＋∞)，∴y∈(0，1]，

∴值域为(0，1].

[规律方法]

1．函数值的求法及注意事项

(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；

(2)求f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则；

(3)用来替换表达式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义．

2．简单函数的值域的求法

目前我们学过的函数主要有一次函数、二次函数、反比例函数，一次函数的值域为R，二次函数的值域可用公式法、配方法或图象法，反比例函数可用图象法．在求值域时，一定要考虑定义域，如求y＝x2－2x(－1≤x<2)的值域，公式法就不可用，要根据定义域结合图象求解．

1．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到N的函数关系的有(　C　)

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【解析】 由函数的定义知，M中任意一个x，在N中都有唯一的y与之对应，故①②④正确．

2．设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{1}，则集合A不可能是(　D　)

A．{1}    B．{－1}

C．{－1，1}    D．{－1，0}

【解析】 由函数的定义可知，x＝0时，集合B中没有元素与之对应，所以集合A不可能是{－1，0}．故选D.

3．已知函数f(x－1)＝2x2－1，则f(0)等于(　C　)

A．－1

B．0

C．1

D．3

【解析】 令x－1＝0，则x＝1，所以f(0)＝2×12－1＝1.

4．下列四组函数中是同一个函数的是(　B　)

A．f(x)＝|x|，g(x)＝()2

B．f(s)＝2s＋1，g(t)＝2t＋1

C．f(x)＝|x|，g(x)＝

D．f(x)＝，g(x)＝x＋4

【解析】 选项A，C，D中两个函数的定义域均不同；选项B的定义域和对应关系分别相同．故选B.

5．函数y＝－的定义域是__(－3，2)∪(2，＋∞)__．

【解析】 要使函数有意义，x必须满足即即x>－3且x≠2，所以函数的定义域为(－3，2)∪(2，＋∞).