人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示第一课时学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示第一课时学案，共6页。学案主要包含了学习目标，问题探究1，问题探究2等内容，欢迎下载使用。


题型 1函数关系的判断
【问题探究1】 仔细阅读教材3.1.1中的四个问题，找到问题1～4中涉及的变量，写出各类变量构成的集合，分析两类变量的对应关系．并归纳4个不同问题中对应关系所具有的共性．
(1)变量1：时间t，变量1构成的集合：A1＝{t|0≤t≤0.5}
变量2: 路程s，变量2构成的集合：B1＝{s|0≤s≤175}
变量1与变量2之间的对应关系或对应方式：对于数集A中的任一时刻t，根据对应关系s＝350 t在数集B中都有唯一确定的路程s和它对应．
(2)变量1：________，变量1构成的集合：________________________________．
变量2：________，变量2构成的集合：________________________________．
变量1与变量2之间的对应关系或对应方式：______________________________________．
(3)变量1：________，变量1构成的集合：________________________________．
变量2：________，变量2构成的集合：________________________________．
变量1与变量2之间的对应关系或对应方式：______________________________________．
(4)变量1：________，变量1构成的集合：__________________________________．
变量2：________，变量2构成的集合：__________________________________．
变量1与变量2之间的对应关系和对应方式：______________________________________．
例1 (1)(多选题)下列对应关系是集合A到集合B的函数的是( )
A．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：x→y＝|x|
B．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2
C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
D．A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0
(2)函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{x|0≤x≤2}，则y＝f(x)图象可能是( )
题后师说
(1)判断一个对应关系是否为函数的方法
(2)根据图形判断对应关系是否为函数的一般步骤
跟踪训练1 中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“functin”译做“函数”沿用至今，已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是( )
A．y＝|x| B．y＝x＋1
C．y＝2xD．y＝x2
题型 2函数的三要素
【问题探究2】 你知道初中学的几个函数的对应关系、定义域、值域分别是什么吗？
例2 (1)已知f(x)＝，则f(x)的定义域是( )
A．{x|x<0} B．{x|x≤1且x≠0}
C．{x|x<1且x≠0} D．{x|x>1}
(2)若已知函数f(x)＝x2，x∈{－1，0，1}，则函数的值域为________．
学霸笔记：(1)求函数定义域的依据：分式分母不为0，二次根式的被开方数不小于0.
(2)如果解析式中含有多个式子，则用大括号将x满足的条件列成不等式组，求交集．
跟踪训练2 (1)函数f(x)＝的定义域是( )
A．{x|x≥－1且x≠0}
B．{x|x≥－1}
C．{x|x≠0}
D．{x|x≤－1且x≠0}
(2)若函数y＝x2－3x的定义域为{－1，0，2，3}，则其值域为________．
题型 3构建问题情境
例3
已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝2x＋.
题后师说
构建问题情境的步骤
跟踪训练3 构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y＝2来描述．
随堂练习
1.下列说法中正确的是( )
A．函数的定义域和值域一定是无限集
B．函数值域中的每一个数，在定义域中都有唯一的数与之对应
C．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了
D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素
2．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，1，3}，下列对应关系中，从A到B的函数为( )
A．f：x→y＝xB．f：x→y＝x2
C．f：x→y＝2x D．f：x→y＝2x－1
3．函数f(x)＝x2＋1(0A．{x|x≥1} B．{x|x>1}
C．{2，3} D．{2，5}
4．函数y＝的定义域为________．
课堂小结
1.会判断函数关系．
2．会求函数的定义域．
3．会构建问题情境．
第1课时 函数的概念(一)
问题探究1 提示：(2) 天数d A2＝{1，2，3，4，5，6}
工资ω B2＝{350，700，1 050，1 400，1 750，2 100}
对于数集A2中的任一工作天数d，根据对应关系ω＝350d，在数集B2中都有唯一确定的工资ω与它对应．
(3)时刻t A3＝{t|0≤t≤24}
空气质量指数I B3＝{I|0对于数集A3中的任一时刻t，根据图中曲线所给定的对应关系，在数集B3中都有唯一确定的AQI的值与之对应．
(4)年份y A4＝{2006，2007，2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015}
恩格尔系数r(%) B4＝{r|0对于数集A4中的任意一个年份y，根据表格所给定的对应关系，在数集B4中都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应．
例1 解析：(1)选项A中，对于A中的任意一个实数x，在B中都有唯一确定的数y与之对应，故是A到B的函数．
选项B中，对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．
选项C中，集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数．
选项D中，对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．故选ABD.
(2)由题意，函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{x|0≤x≤2}，
对于A中，函数的定义域为[－2，0]，不符合题意；
对于B中，函数的定义域为[－2，2]，值域为[0，2]，符合题意；
对于C中，根据函数的概念，一对一对应和多对一对应是函数，而C项中出现一对多对应，所以不是函数，不符合题意；
对于D中，函数的定义域为[－2，2]，但值域为[0，1]，不符合题意．故选B.
答案：(1)ABD (2)B
跟踪训练1 解析：在A中，任取x∈M，总有y＝|x|∈N，故A正确；
在B中，当x＝－1，2，4时，y∉N，故B错误；
在C中，当x＝－1，4时，y∉N，故C错误；
在D中，当x＝4时，y∉N，故D错误．故选A.
答案：A
问题探究2 提示：
例2 解析：(1)要使f(x)＝有意义，则需 ，解得x≤1且x≠0，
所以定义域为{x|x≤1且x≠0}．故选B.
(2)当x＝－1时，f(－1)＝1；当x＝0时，f(0)＝0；当x＝1时，f(1)＝1.
所以函数的值域为{0，1}．
答案：(1)B (2){0，1}
跟踪训练2 解析：(1)由，解得：x≥－1且x≠0.
∴函数f(x)＝的定义域是{x|x≥－1且x≠0}．故选A.
(2)依题意，当x＝－1时，y＝4；当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝－2；当x＝3时，y＝0，所以函数y＝x2－3x的值域为{－2，0，4}．
答案：(1)A (2){－2，0，4}
例3 解析：(1)设矩形的长为x，宽为f(x)，那么f(x)＝.
其中x的取值范围A＝{x|x＞0}，
f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)＞0}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的宽.
(2)设矩形的长为x，周长为f(x)，那么f(x)＝2x＋，其中x的取值范围A＝{x|x＞0}，
f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)＞0}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的周长2x＋.
跟踪训练3 解析：某企业生产一种产品的利润是投资额的算术平方根的2倍，设投资额为x，利润为y，那么y＝2.其中x的取值范围A＝{x|x≥0}，y的取值范围B＝{y|y≥0}，对应关系f把每一笔投资对应到唯一确定的利润2.
[随堂练习]
1．解析：函数的定义域和值域也可以是有限集，A错误．对于定义域中的每一个数x，在值域中都有唯一的数y和它对应，反之则不然，故B错误，D正确，C显然错误．故选D.
答案：D
2．解析：对A：当x＝0，1，2时，对应的y＝x为0，1，2，所以选项A不能构成函数；
对B：当x＝0，1，2时，对应的y＝x2为0，1，4，所以选项B不能构成函数；
对C：当x＝0，1，2时，对应的y＝2x为0，2，4，所以选项C不能构成函数；
对D：当x＝0，1，2时，对应的y＝2x－1为－1，1，3，所以选项D能构成函数．故选D.
答案：D
3．解析：∵0∴f(1)＝2，f(2)＝5.故函数的值域为{2，5}．故选D.
答案：D
4．解析：因为y＝，所以x－1>0，即x>1，所以定义域为{x|x>1}．
答案：{x|x>1}
函数
对应关系
定义域
值域
一次函数
反比例函数
二次函数
函数
对应关系
定义域
值域
一次函数
y＝ax＋b(a≠0)
R
R
反比例函数
y＝
(k≠0)
{x|x∈R，
且x≠0}
{y|y∈R，且y≠0}
二次函数
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
R
a>0时，{y|y≥}，a<0时，{y|y≤}