高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示第二课时学案

函数的表示法

[课程目标] 1.掌握函数的三种表示法——解析法、图象法、列表法；2.会求函数的解析式，并正确画出函数的图象；3.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．

知识点一　函数的三种表示法

　　 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)任何一个函数都有解析式．(　×　)

(2)任何一个函数都能够用图象表示．(　×　)

(3)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a可以有两个交点．(　×　)

(4)如果函数有解析式，则解析式是唯一的．(　×　)

【解析】 (1)不是所有函数都能够用解析式表示，例如，一天内气温随时间变化的关系，只能够用图象表示，不能用解析式表示．

(2)不一定．如函数的对应关系是：当x为有理数时，函数值等于1；当x为无理数时，函数值等于0.此函数就无法用图象法表示．

(3)由函数的概念知，自变量确定，则函数值唯一确定，所以y＝f(x)的图象与直线x＝a最多只有1个交点．

(4)一个函数可以有多个解析式，这些解析式是等价的．

知识点二　分段函数

对于一个函数来说，对应关系__由几个解析式共同__构成，它的图象__由几条曲线共同____组成，这样的函数称为分段函数．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)分段函数各段的定义域区间是不可以相交的．(　√　)

(2)分段函数各段的对应关系不同，所以分段函数是由几个不同的函数构成的．(　×　)

(3)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式求值．(　√　)

【解析】 (1)分段函数各段的定义域区间的交集为空集，定义域是各段的定义域区间的并集．

(2)分段函数是一个函数，只不过在定义域的不同区间上的对应关系不同．

(3)由自变量与函数值的对应关系知，说法正确．

 给定函数f(x)＝x＋1，h(x)＝，x∈R且x≠0.用M(x)表示f(x)，h(x)中的最大者，记为M(x)＝max{f(x)，h(x)}，试分别用图象法和解析法表示M(x).

解：如图所示，在同一坐标系中分别作出函数f(x)＝x＋1，h(x)＝的图象，根据函数M(x)的定义知，函数M(x)的图象是图中的实线部分．

由x＋1＝得x2＋x－2＝0，

解得x＝－2或x＝1.

所以函数M(x)的解析式为

M(x)＝

活学活用

用m(x)表示f(x)，g(x)，h(x)中的最小者，记为m(x)＝min{f(x)，g(x)，h(x)}．已知f(x)＝x＋2，g(x)＝－x＋，h(x)＝－x＋2，试作出函数m(x)的图象，并写出m(x)的解析式．

解：如图所示，在同一坐标系中分别作出函数f(x)＝x＋2，g(x)＝－x＋，h(x)＝－x＋2的图象，根据函数m(x)的定义知，函数m(x)的图象是图中的实线部分.

由x＋2＝－x＋得x＝－1，由－x＋＝－x＋2得x＝3.

所以函数m(x)的解析式为

m(x)＝

[规律方法]作函数图象的三个步骤：

(1)列表，先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来；

(2)描点，把表中一系列的点(x，f(x))在坐标平面上描出来；

(3)连线，用光滑的线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．

【迁移探究】如图所示，函数y＝ax2＋bx＋c与y＝ax＋b(a≠0)的图象可能是__④__(填序号).

【解析】 由抛物线的对称轴是y轴，可知b＝0，而此时直线应该过原点，故①不可能；由抛物线可知，a>0，而此时由直线的图象得，a<0，故②不可能；由抛物线可知，a<0，而此时由直线的图象得，a>0，故③不可能；由抛物线可知，a<0，b>0，满足直线图象，可知④可能是两个函数的图象．

 (1)若一次函数f(x)满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，求f(x)的解析式；

(2)设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且图象与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，求f(x)的解析式．

解：(1)由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0).

因为3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，

所以3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，

即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，

比较对应项系数，得解得

所以f(x)＝x＋3.

(2)方法一：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).

由f(x－2)＝f(－x－2)，得4a－b＝0.①

又因为|x1－x2|＝＝2，所以b2－4ac＝8a2；②

又由已知得c＝1.③

由①②③解得b＝2，a＝，c＝1，所以f(x)＝x2＋2x＋1.

方法二：因为f(x－2)＝f(－x－2)，

所以y＝f(x)的图象的对称轴为直线x＝－2，

又|x1－x2|＝2，

所以y＝f(x)的图象与x轴的交点为(－2－，0)，(－2＋，0)，

故可设f(x)＝a(x＋2＋)(x＋2－).因为f(0)＝1，所以a＝，

所以f(x)＝[(x＋2)2－2]＝x2＋2x＋1.

 求下列函数的解析式．

(1)已知f(x)＝x2＋2x，求f(2x－1)；

(2)已知f(－1)＝x＋2，求f(x)；

(3)设f(x)是定义在(1，＋∞)上的一个函数，且有f(x)＝2f－1，求f(x).

解：(1)易知f(2x－1)＝(2x－1)2＋2(2x－1)＝4x2－1.

(2)令t＝－1，则t≥－1，且＝t＋1，

所以f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)＝t2＋4t＋3.

故所求的函数为f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1).

(3)因为f(x)＝2f－1，

所以用代换x，得f＝2f(x)－1.

消去f，解得f(x)＝4f(x)－2－1，

所以f(x)＝＋.

又因为x∈(1，＋∞)，所以f(x)＝＋，x∈(1，＋∞).

活学活用

已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，则f(x)的解析式是(　C　)

A．f(x)＝x＋    B．f(x)＝－2x＋

C．f(x)＝－x＋    D．f(x)＝－x＋

【解析】 因为f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，①

所以把①中的x换成－x，得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1.②

由②×3－①，可得f(x)＝－x＋.

[规律方法]

求函数解析式的几种常用方法：

(1)待定系数法：当已知函数类型时，常用待定系数法．

(2)代入法：已知y＝f(x)的解析式，求函数y＝f[g(x)]的解析式时，可直接用新自变量g(x)替换y＝f(x)中的x.

(3)换元法：已知y＝f[g(x)]的解析式，求y＝f(x)的解析式，可用换元法，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入y＝f[g(x)]中，求出f(t)，即得f(x).

(4)构造方程组法：当同一个对应关系中的两个自变量之间有互为相反数或者互为倒数关系时，构造方程组求解．

 已知函数f(x)＝若f(x)＝10，则x＝__－5或3__．

【解析】 当x≥0时，f(x)＝x2＋1＝10，解得x＝－3(舍去)或x＝3；当x<0时，f(x)＝－2x＝10，解得x＝－5.综上知x＝－5或x＝3.

[规律方法]

(1)求分段函数的函数值时，一般应先确定自变量的取值在哪个子区间上，然后用与这个区间相对应的解析式求函数值．

(2)已知分段函数的函数值，求自变量的值，要进行分类讨论，逐段用不同的函数解析式求解，求解最后检验所求结果是否适合条件．

(3)实际问题中的分段函数，以自变量在不同区间上的对应关系不同进行分段，求出在各个区间上的对应关系(解析式或图象).

活学活用

设函数f(x)＝若f(a)＝a，则实数a的值是__－1__．

【解析】 当a≥0时，f(a)＝－1＝a，得a＝－2(舍去)；当a<0时，f(a)＝＝a，得a＝±1，a＝1不满足a<0，舍去，所以a＝－1.

 设函数f(x)＝|x2－2x|.

(1)在给出的平面直角坐标系中作出y＝f(x)的图象；

(2)若方程f(x)＝a有三个不相等的实根，求实数a的值；

(3)在同一坐标系中作直线y＝x，观察图象写出不等式f(x)<x的解集．

解：(1)f(x)＝|x2－2x|＝

可得函数f(x)的图象如图所示．

(2)方程f(x)＝a有三个不相等实根⇔y＝f(x)的图象与y＝a有三个交点，

结合图象可知a＝1.

(3)结合图象可知f(x)<x的解集为(1，3).

活学活用

已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是__f(x)＝__．

【解析】 因为函数的图象由两条线段组成，所以由一次函数解析式求法，可得f(x)＝

【迁移探究】 若某汽车以52 km/h的速度从A地驶向260 km远处的B地，在B地停留h后，再以65 km/h的速度返回A地．则汽车离开A地后行驶的路程s(km)关于时间t(h)的函数解析式为s＝____．

【解析】 因为260÷52＝5(h)，260÷65＝4(h)，

所以s＝

1．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为(　B　)

A．－2    B．6    C．1    D．0

【解析】 令x－1＝2，则x＝3，得f(2)＝32－3＝6.

2．设函数f(x)＝则f[f(3)]等于(　D　)

A．    B．3    C．    D．

【解析】 因为f(3)＝，所以f[f(3)]＝f＝＋1＝.

3．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是(　A　)

A．f(x)＝3x＋2    B．f(x)＝3x＋1

C．f(x)＝3x－1    D．f(x)＝3x＋4

【解析】 令2x＋1＝t，则x＝.所以f(t)＝6×＋5＝3t＋2，所以f(x)＝3x＋2.

4．若一次函数的图象经过点A(1，6)和B(2，8)，则该函数的图象还可能经过的点的坐标为(　A　)

A．    B．

C．(－1，3)    D．(－2，1)

【解析】 设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，由该函数的图象经过点A(1，6)和B(2，8)，得解得所以该函数的解析式为y＝2x＋4，检验知A选项正确．

5．已知函数f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是__f(x)＝x2＋6x__．

【解析】 方法一：设t＝x－1，则x＝t＋1.

因为f(x－1)＝x2＋4x－5，所以f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，即f(x)的解析式是f(x)＝x2＋6x.

方法二：因为f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，所以f(x)的解析式是f(x)＝x2＋6x.