高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第一课时学案设计

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知识点一 一元二次不等式的概念
1．我们把只含有__一个__未知数，并且未知数的最高次数是__2__的不等式称为一元二次不等式．
2．使一元二次不等式成立的__未知数__的值叫做一元二次不等式的解，所有的解所组成的__集合__叫做一元二次不等式的__解集__．
eq \a\vs4\al(【思辨】) 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)kx2－x＋1≥0是关于x的一元二次不等式．( × )
(2)不等式m2x＋2x－3<0是关于x的一元二次不等式．( × )
(3)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．( × )
(4)不等式x2－2x＋1≤0的解集是{1}．( √ )
【解析】 (1)当k＝0，该不等式不是一元二次不等式．
(2)因为x的最高次数是1，所以m2x＋2x－3<0不是关于x的一元二次不等式．
(3)a>0时，任意实数x都能使不等式ax2＋1>0成立，所以不等式ax2＋1>0的解集是R．
(4)因为x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以x2－2x＋1≤0只能成立“＝”，所以不等式x2－2x＋1≤0的解集是{1}．
知识点二 二次函数和一元二次方程、不等式的关系
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，得一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，这时方程的根就是抛物线与x轴交点的__横坐标__；当y≠0时，得不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，下表给出了当a>0时，二次函数与一元二次方程、不等式的解集的对应关系：
[研读]通过二次函数将一元二次方程、一元二次不等式联系起来，通过二次函数的图象可以解一元二次不等式和一元二次方程．
eq \a\vs4\al(【思辨】) 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)函数y＝x2－x＋1的图象与x轴有交点．( × )
(2)方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实数根．( √ )
(3)关于x的方程x2－2ax＋(a2－1)＝0恒有两个不相等的实数根．( √ )
(4)函数y＝ax2＋2x－4的图象与x轴的一个交点是(1，0)，则方程ax2＋2x－4＝0的两个根是1和2.( × )
【解析】 (1)由(－1)2－4×1×1＝－3<0，可得函数y＝x2－x＋1的图象与x轴没有交点．
(2)因为(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实数根．
(3)因为(－2a)2－4(a2－1)＝4>0，所以方程x2－2ax＋(a2－1)＝0恒有两个不相等的实数根．
(4)因为ax2＋2x－4＝0有一个根是1，所以a×12＋2×1－4＝0，得a＝2，所以方程变为2x2＋2x－4＝0，即x2＋x－2＝0，由求根公式得另一个根为－2.
eq \(\s\up7(),\s\d5( 解一元二次不等式))
eq \a\vs4\al(例1) 教材拓展求下列不等式的解集：
(1)2x2＋7x＋3>0； (2)－x2＋8x－3>0；
(3)4x2－4x＋1>0； (4)－ eq \f(1,2) x2＋3x－5<0.
解：(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－ eq \f(1,2) .又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x>－\f(1,2)，或x<－3)))) .
(2)不等式可化为x2－8x＋3<0.因为Δ＝(－8)2－4×1×3＝52>0，所以方程x2－8x＋3＝0有两个不等实根x1＝4－ eq \r(13) ，x2＝4＋ eq \r(13) .又二次函数y＝x2－8x＋3的图象开口向上，故原不等式的解集为{x|4－ eq \r(13) (3)原不等式可化为(2x－1)2>0，所以原不等式的解集为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠\f(1,2))))) .
(4)原不等式可化为x2－6x＋10>0.因为Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以原不等式的解集为R．
[规律方法]
解一元二次不等式的一般步骤：
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零．
(2)因式分解或计算对应方程的判别式．
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实数根．
(4)根据函数的图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
活学活用
解下列不等式：
(1) 2x2－3x－2>0； (2) －3x2＋6x>0；
(3) －x2＋2x－3>0.
解：(1)不等式的解集为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,2)或x>2)))) .
(2)不等式的解集为{x|0(3)不等式的解集为∅.
eq \(\s\up7(),\s\d5( 解含参数的一元二次不等式))
eq \a\vs4\al(例2) 解下列关于x的不等式：
(1)x2－(a2＋a)x＋a3>0，a∈R；
(2)ax2－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋2a)) x＋4>0，a∈R；
(3)x2－ax＋1<0，a∈R.
解：(1)原不等式可化为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－a)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－a2)) >0.
①当a2a}；
②当a2>a，即a<0或a>1时，解集为{x|xa2}；
③当a2－a＝0，即a＝0或a＝1时，原不等式的解集为
{x|x≠a}．
(2)①当a<0时，原不等式变形为(x－2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,a))) <0，原不等式的解集为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)②当a＝0时，原不等式变形为－2x＋4>0，原不等式的解集为{x|x<2}；
③当a>0时，原不等式变形为(x－2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,a))) >0，
当 eq \f(2,a) ≤2，即a≥1时，原不等式的解集为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x<\f(2,a)，或x>2)))) ；
当 eq \f(2,a) >2，即0\f(2,a))))) .
(3)当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式的解集为∅；
当Δ＝a2－4>0，即a<－2或a>2时，
记x2－ax＋1＝0的根为x1＝ eq \f(a－\r(a2－4),2) ，x2＝ eq \f(a＋\r(a2－4),2) ，
则原不等式的解集为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(a－\r(a2－4),2)[规律方法]
解含参数的一元二次不等式时的注意点：
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
活学活用
1．解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R).
解：原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0，
对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.
①当a>0时，x1>x2，
原不等式的解集为{x|－a②当a＝0时，原不等式化为x2<0，即原不等式的解集为∅；
③当a<0时，x1原不等式的解集为{x|2a综上所述，a>0时，原不等式的解集为{x|－a2．解关于x的不等式(x－2)(ax－1)<0(a∈R).
解：①当a<0时，原不等式可化为(x－2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a))) >0，
原不等式的解集为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x<\f(1,a)，或x>2)))) ；
②当a＝0时，原不等式可化为x－2>0，原不等式的解集为{x|x>2}；
③当a>0时，原不等式可化为(x－2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a))) <0，
当 eq \f(1,a) <2，即a> eq \f(1,2) 时，原不等式的解集为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)当 eq \f(1,a) ＝2，即a＝ eq \f(1,2) 时，原不等式的解集为∅；
当 eq \f(1,a) >2，即0 eq \(\s\up7(),\s\d5( 三个“二次”关系的应用))
eq \a\vs4\al(例3) 若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)≤x≤2)))) ，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
解：由ax2＋bx＋c≥0的解集是 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)≤x≤2)))) ，知a<0.且2，－ eq \f(1,3) 为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
所以－ eq \f(b,a) ＝ eq \f(5,3) ， eq \f(c,a) ＝－ eq \f(2,3) ，
所以b＝－ eq \f(5,3) a，c＝－ eq \f(2,3) a.
所以不等式cx2＋bx＋a<0变为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)a)) x2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)a)) x＋a<0，
即2ax2＋5ax－3a>0.
又因为a<0，所以2x2＋5x－3<0.
所以原不等式的解集为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(－3[规律方法]
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象在x轴上方的部分，是由使不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由使不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．
活学活用
已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20的解集为__ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)【解析】 由题意知a<0且－ eq \f(b,a) ＝2＋3， eq \f(c,a) ＝2×3，即b＝－5a，c＝6a，代入cx2－bx＋a>0，得6ax2＋5ax＋a>0(a<0)，即6x2＋5x＋1<0，解得－ eq \f(1,2) 1．不等式6－x－2x2<0的解集是( D )

A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－\f(3,2)B． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－2C． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x<－\f(3,2)或x>2))
D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x>\f(3,2)或x<－2))
【解析】 6－x－2x2<0⇒2x2＋x－6>0，方程2x2＋x－6＝0的两根为x1＝－2，x2＝ eq \f(3,2) ，故其解集为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x>\f(3,2)或x<－2)))) .
2．不等式x(2－x)＞0的解集为( D )
A．{x|x＞0} B．{x|x＜2}
C．{x|x＞2或x＜0} D．{x|0＜x＜2}
【解析】 原不等式化为x(x－2)＜0，
其解集为{x|03．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为∅，则( C )
A．a<0且b2－4ac<0
B．a<0且b2－4ac≤0
C．a>0且b2－4ac≤0
D．a>0且b2－4ac>0
【解析】 令y＝ax2＋bx＋c<0，因为x∈∅，则y＝ax2＋bx＋c的所有函数值都大于或等于0，因此，抛物线开口向上，与x轴相切或相离，即a>0，Δ＝b2－4ac≤0.
4．不等式－3x2＋5x－4<0的解集为__R__．
【解析】 原不等式变形为3x2－5x＋4>0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4>0的解集为R．
5．已知00的解集为__ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x\f(1,a))))) __．
【解析】 01，所以a< eq \f(1,a) ，所以不等式的解集为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x>\f(1,a)或x6．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－3【解析】 由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－3从而bx2＋2ax－c－3b<0可化为 eq \f(b,a) x2＋2x－ eq \f(c,a) － eq \f(3b,a) >0，
即－x2＋2x＋12＋3>0，
∴x2－2x－15<0，解得－3∴原不等式的解集为{x|－3 eq \a\vs4\al(温馨说明：课后请完成高效作业11 ) Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c
的图象
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
ax2＋bx＋c＝0
的根
有两个不相等的实数根x1，x2
(x1有两个相等的实数根x1＝x2＝－ eq \f(b,2a)
__没有实数根__
ax2＋bx＋c>0
的解集
{x|x或x>x2}
{x|x≠－ eq \f(b,2a) }
R
ax2＋bx＋c<0
的解集
{x|x1∅
__∅__