2021学年1.5 全称量词与存在量词第一课时导学案

这是一份2021学年1.5 全称量词与存在量词第一课时导学案，共9页。
全称量词与存在量词[课程目标] 1.理解全称量词、全称量词命题的定义，理解存在量词、存在量词命题的定义；2.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假． 知识点一　全称量词1．短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“__∀__”表示，含有全称量词的命题，叫做__全称量词命题__．2．将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，… 表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为__∀x∈M，p(x)__． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)所有实数都有平方根．(　×　)(2)“有的质数是奇数”是全称量词命题．(　×　)(3)“三角形内角和等于180°”是全称量词命题．(　√　)(4)“对于任意实数x，2x＋1是奇数”是全称量词命题．(　√　)【解析】 (1)负数没有平方根．(2)“所有质数是奇数”才是全称量词命题．(3)“三角形内角和等于180°”即“所有的三角形内角和等于180°”．(4)根据全称量词命题的概念知，该说法正确． 知识点二　存在量词1．短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“__∃__”表示．含有存在量词的命题，叫做__存在量词命题__．2．存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为__∃x∈M，p(x)__． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)有一个实数x，使x2＋2x＋＝0.(　×　)(2)函数y＝－2x＋3的图象上有些点在第三象限．(　×　)(3)有些整数只有两个正因数．(　√　)(4)“至少有一个偶数是质数”是存在量词命题且是真命题．(　√　)【解析】 (1)由于∀x∈R，x2＋2x＋＝(x＋1)2＋≥>0，因此使x2＋2x＋＝0的实数x不存在．所以存在量词命题“有一个实数x，使x2＋2x＋＝0”是假命题．(2)作出函数y＝－2x＋3的图象，知其经过第一、二、四象限．(3)由于存在整数只有两个正因数的情况，如3有正因数3和1，所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．(4)因为偶数2是质数，所有“至少有一个偶数是质数”是存在量词命题且是真命题． 
 将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示．(1)自然数的平方大于零；(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<1)至少存在一个负根；(3)两个无理数的和是无理数；(4)存在两个相似三角形不全等．解：(1)该命题省略了全称量词“任意一个”，因此可用符号表示为：∀x∈N，x2>0.(2)用符号表示为：∃x<0，ax2＋2x＋1＝0(a<1).(3)用符号表示为：∀a，b∈{无理数}，a＋b∈{无理数}．(4)用符号表示为：∃△ABC∽△A′B′C′，△ABC≌△A′B′C′不成立．  判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. (1)梯形的对角线相等； (2)存在一个四边形有外接圆； (3)所有的正方形都是矩形； (4)凸多边形的外角和等于360°.解：(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，故为全称量词命题．(2)命题为存在量词命题．(3)命题为全称量词命题．(4)命题可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题．[规律方法]1．判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤：2．同一个全称量词命题或存在量词命题，可能有不同的表述方法，现列表总结如下，在实际应用中可以灵活选择： 命题全称量词命题“∀x∈A，p(x)”存在量词命题“∃x∈A，p(x)”表述方法①所有的x∈A，p(x)成立；②对一切x∈A，p(x)成立；③对每一个x∈A，p(x)成立；④任意一个x∈A，p(x)成立；⑤凡x∈A，都有p(x)成立①存在x∈A，使p(x)成立；②至少有一个x∈A，使p(x)成立；③对有些x∈A，p(x)成立；④对某个x∈A，p(x)成立；⑤有一个x∈A，使p(x)成立 活学活用判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示出来．(1)任何一个实数除以1，仍等于这个实数；(2)有一个奇数不能被3整除；(3)每个三角形至少有两个锐角；(4)存在负数x，使得>2.解：(1)全称量词命题，∀x∈R，＝x.(2)存在量词命题，∃x∈{x|x＝2k－1，k∈Z}，不是整数．(3)全称量词命题，∀x∈{三角形}，x至少有两个锐角．(4)存在量词命题，∃x<0，>2. 判断下列命题的真假：(1)∀x∈R，x2－x＋1>；(2)每一条线段的长度都能用正有理数表示；(3)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立；(4)存在x，y∈R，＋＝.解：(1)真命题，因为x2－x＋1＝＋≥>，所以x2－x＋1>恒成立．(2)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是正有理数．(3)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，所以无实数解．(4)真命题，如x＝，y＝，使＋＝成立．[规律方法](1)全称量词命题真假的判断．①要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只需找到M中的一个元素x0，使得p(x0)不成立即可．②图表表示(2)存在量词命题真假的判断．①要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命题，即对于∀x∈M，p(x)都不成立．②图表表示． 活学活用判断下列命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋2>0；(2)∀x∈N，x2≥1；(3)∃x∈Z，x3<1；(4)∃x∈Q，x2＝3.解：(1)真命题，∀x∈R，x2＋2≥2>0.(2)假命题，如x＝0时，x2＝0<1.(3)真命题，如x＝0时，x3＝0<1.(4)假命题，因为当且仅当x＝±时，x2＝3. 已知y＝3ax2＋6x－1(a∈R).(1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有y≤0；(2)如果对任意x∈R，函数y＝3ax2＋6x－1(a∈R)的图象恒在直线y＝4x的下方，求实数a的取值范围．解：(1)证明：当a＝－3时，y＝－9x2＋6x－1.因为Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，且二次项系数小于零，所以对任意x∈R，都有y≤0.(2)因为对任意x∈R，函数y＝3ax2＋6x－1(a∈R)的图象恒在直线y＝4x的下方，所以3ax2＋6x－1≤4x恒成立，即3ax2＋2x－1≤0恒成立，所以函数y＝3ax2＋2x－1的图象与x轴最多只有一个公共点，所以即解得a≤－.当a＝0时，显然不合题意．综上可知，a的取值范围为a≤－.[规律方法](1)对任意的实数x，a≥y恒成立，只需a≥ymax；若存在一个实数x0，使a≥y成立，只需a≥ymin.(2)解决有关恒成立问题的方法：一是转化为二次函数，利用数形结合求解；二是利用分离参数法求解． 活学活用若命题“∀x∈R，x2－2ax＋2≥a－a2”是真命题，求实数a的取值范围．解：因为对任意x∈R，x2－2ax＋2≥a－a2恒成立，所以a－a2小于或等于y＝x2－2ax＋2的最小值．因为y＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2， 所以当x＝a时，函数的最小值为2－a2，所以2－a2≥a－a2，解得a≤2.1．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方法的是(　C　)A．有一个x∈R，使得x2>3B．对有些x∈R，使得x2>3C．任意一个x∈R，使得x2>3D．至少有一个x∈R，使得x2>3【解析】 “∀x∈R，x2>3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词．2．下列命题中全称量词命题的个数是(　C　)①任意一个奇数都是整数；②有的三角形的一个内角为45°；③四边形的内角和是360°.A．0　　　　　　　　　B．1C．2    D．3【解析】 ①和③是全称量词命题．3．下列命题中，不属于全称量词命题的是(　D　)A．任何一个实数乘0都等于0B．自然数都是正整数C．不重合的两条直线，不平行就相交D．一定存在没有最大值的二次函数【解析】 “一定存在没有最大值的二次函数”不是全称量词命题．4．下列存在量词命题是假命题的是(　B　)A．存在x∈Q，使2x－x3＝0B．存在x∈R，使x2＋3x＋3＝0C．至少存在一个实数既是2的倍数，又是3的倍数D．有的有理数没有倒数【解析】 “存在x∈R，使x2＋3x＋3＝0”是假命题，因为Δ＝32－4×3＝－3<0，所以方程x2＋3x＋3＝0没有实数根．5．若“任意的x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是__a≤1__．【解析】 x2－a≥0，即a≤x2.因为x∈{x|1≤x≤2}时，上式恒成立，而1≤x2≤4，所以a≤1.