人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词精品第2课时同步测试题

1.5.1全称量词与存在量词

1．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是(　　)

A．有一个x∈R，使得x2>3

B．对有些x∈R，使得x2>3

C．任选一个x∈R，使得x2>3

D．至少有一个x∈R，使得x2>3

2．存在量词命题“存在实数x，使x2＋1<0”可写成(　　)

A．若x∈R，则x2＋1>0   B．∀x∈R，x2＋1<0

C．∃x∈R，x2＋1<0   D．以上都不正确

3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　)

A．锐角三角形的内角是锐角或钝角

B．至少有一个实数x，使x2≤0

C．两个无理数的和必是无理数

D．存在一个负数x，使>2

4．给出下列三个命题：

①对任意的x∈R，x2>0；

②存在x∈R，使得x2≤x成立；

③对于集合A，B，若x∈A∩B，则x∈A且x∈B.

其中真命题的个数是(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

5．下列说法正确的是(　　)

A．对所有的正实数t，有<t

B．存在实数x，使x2－3x－4＝0

C．不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0

D．任意实数x，使得|x＋1|≤1且x2>4

6．下列存在量词命题中真命题有________．

①有的实数是无限不循环小数；

②有些三角形不是等腰三角形；

③有的菱形是正方形．

7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成存在量词命题为________．

8．下列命题中，是全称量词命题的有________．(填序号)

①有的实数是整数； ②三角形是多边形；

③矩形的对角线互相垂直； ④∀x∈R，x2＋2>0；

⑤有些素数是奇数．

9．判断下列命题的真假．

(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；

(2)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立．

10．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假：

(1)∃x，x－2≤0.

(2)三角形两边之和大于第三边．

(3)有些整数是偶数．

11．下列全称量词命题中真命题的个数为(　　)

①对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；

②二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点；

③∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.

A．1  B．2  C．3  D．0

12．已知命题p：∀x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．a>－1  B．a<－1  C．a≥－1  D．a≤－1

13．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围为________．

14．若任意x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．

15．已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　)

A．a≥4  B．a≤4  C．a≥5  D．a≤5

16．已知函数y1＝x，y2＝－2x2－m，若对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围．

【答案与解析】

1．答案　C

2．答案　C

解析　存在量词命题中“存在”可用符号“∃”表示，故选C.

3．答案　B

4．答案　C

解析　对于①，存在x＝0，使得x2＝0，故①是假命题；显然②③是真命题．

5．答案　B

解析　t＝时，>t，所以A选项错；由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x＝－1或x＝4时，x2－3x－4＝0，故B选项正确；由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C选项错；x＝0时，不成立，所以D选项错．

6．答案　①②③

7．答案　∃x<0，(1＋x)(1－9x)2>0

解析　存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．

8．答案　②③④

9．解　(1)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为， 就不能用正有理数表示．

(2)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．

10．解　(1)存在量词命题．x＝1时，x－2＝－1≤0，故存在量词命题“∃x，x－2≤0”是真命题．

(2)全称量词命题．三角形中，任意两边之和大于第三边．故全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题．

(3)存在量词命题.2是整数，2也是偶数．故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题．

11．答案　B

12．答案　B

解析　依题意不等式x2＋2x－a>0对x∈R恒成立，所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.

13．答案　{a|a<1}

解析　当a≤0时，显然存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0；

当a>0时，需满足Δ＝4－4a2>0，得－1<a<1，

故0<a<1.

综上所述，实数a的取值范围是a<1.

14．解　(1)当m＝0时，y＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R.

(2)当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，

即4m2＋4am＋1≥0恒成立．

又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，

恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，

解得－1≤a≤1.

综上所述，当m＝0时，a∈R；

当m≠0时，－1≤a≤1.

15．答案　C

解析　当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈A＝{x|1≤x≤2}．又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4⇏a≥5，a≥5⇒a≥4，故选C.

16．解　因为x1∈{x|－1≤x≤3}，x2∈{x|0≤x≤2}，

所以y1∈{y|0≤y≤9}，y2∈{y|－4－m≤y≤－m}，

又因为对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，

即y1的最小值大于等于y2的最小值，

即－4－m≤0，

所以m≥－4.