人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词同步测试题

课时跟踪检测（八）

全称量词命题和存在量词命题的否定

层级(一)　“四基”落实练

1．命题“存在实数x，使x>1”的否定是(　　)

A．对任意实数x，都有x>1  B．不存在实数x，使x≤1

C．对任意实数x，都有x≤1   D．存在实数x，使x≤1

解析：选C　由存在量词命题的否定为全称量词命题可知，原命题的否定为：对于任意的实数x，都有x≤1.

2．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋2＜0”的否定是(　　)

A．不存在x∈R，x3－x2＋2≥0

B．存在x∉R，x3－x2＋2≥0

C．存在x∈R，x3－x2＋2≥0

D．存在x∈R，x3－x2＋2＜0

解析：选C　命题“对任意的x∈R，x3－x2＋2＜0”是全称量词命题，否定时将量词“对任意的x∈R”变为“存在x∈R”，再将“＜”变为“≥”即可．即存在x∈R，x3－x2＋2≥0.故选C.

3．已知命题p：∃x＜0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是(　　)

A．{a|a＜1}　　　　　　 B．{a|a≥－1}

C．{a|a＞－1}   D．{a|a≤1}

解析：选D　命题p：∃x＜0，x＋a－1＝0，

所以x＝1－a＜0，解得a＞1，

又p为假命题，故a的取值范围为{a|a≤1}．

4．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则綈p是(　　)

A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根

B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根

C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根

D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根

解析：选C　命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即綈p：对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根．故选C.

5．(多选)下列命题的否定是真命题的是(　　)

A．三角形角平分线上的点到两边的距离相等

B．所有平行四边形都不是菱形

C．任意两个等边三角形都是相似的

D．2是方程x2－9＝0的一个根

解析：选BD　A的否定：存在一个三角形，它的角平分线上的点到两边的距离不相等，假命题；

B的否定：有些平行四边形是菱形，真命题；

C的否定：有些等边三角形不相似，假命题；

D的否定：2不是方程x2－9＝0的一个根，真命题．

6．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________________________________________________________________________．

解析：把“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．

答案：所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0

7．下列命题中正确的是________(填序号)．

①∃x∈R，x≤0的否定为∀x∈R，x≤0；

②方程3x－2y＝10有整数解；

③∃n∈N*，使得n能被11整除；

④∀x∈N，x2≥1的否定是∃x∈N，x2＜1.

解析：①是存在量词命题，其否定为∀x∈R，x2＞0，故①不正确．②当x＝4，y＝1时，方程3x－2y＝0成立，故②正确．③n＝11时，满足能被11整除，故③正确．④是全称量词命题，其否定为∃x∈N，x2＜1，④正确．

答案：②③④

8．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：

(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1≠0都成立；

(2)q：∃x∈R，使x2＋3x＋5≤0.

解：(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，

因此，该命题是全称量词命题．

又因为“任意的”的否定为“存在一个”，

所以其否定是：存在一个x∈R，使x2＋x＋1＝0成立．

即“∃x∈R，使x2＋x＋1＝0”．

因为Δ＝－3＜0，所以方程x2＋x＋1＝0无实数解，

此命题为假命题．

(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，

因此，该命题是存在量词命题．

又因为“存在一个”的否定为“任意一个”，

所以其否定是：对任意一个实数x，都有x2＋3x＋5＞0成立．

即“∀x∈R，有x2＋3x＋5＞0”．

因为Δ＝－11＜0，所以对∀x∈R，x2＋3x＋5＞0总成立，

此命题是真命题．

层级(二)　能力提升练

1．(多选)已知命题p：∃x∈R，x－2＞，命题q：∀x∈R，x2＞0，则(　　)

A．命题p，q都是假命题  　　 B．命题p，q都是真命题

C．命题p，綈q都是真命题  　　 D．命题綈p，q都是假命题

解析：选CD　当x＝9时，9－2＞＝3.∴p为真命题．∀x∈R，x2≥0，∴q为假命题．则綈p为假命题，綈q为真命题．故选C、D.

2．已知命题p：“∃x≥3,2x－1＜m”是假命题，则实数m的最大值是________．

解析：∵命题p“∃x≥3,2x－1＜m”是假命题，∴綈p：“∀x≥3,2x－1≥m”是真命题，故m≤5，∴m的最大值是5.

答案：5

3．若p：“∃x∈R，＋3＝m”为真命题，则实数m的取值范围是________，綈p是________________．

解析：依题意，关于x的方程＋3＝m有实根，∵＋3≥3，∴m≥3.即实数m的取值范围是{m|m≥3}．綈p：∀x∈R，＋3≠m.

答案：{m|m≥3}　∀x∈R，＋3≠m

4．已知命题p：∃x＞0，x＋a－1＝0为假命题，求实数a的取值范围．

解：因为命题p：∃x＞0，x＋a－1＝0为假命题，

所以綈p：∀x＞0，x＋a－1≠0是真命题，即x≠1－a，

所以1－a≤0，即a≥1.

所以a的取值范围为{a|a≥1}．

5．命题p是“对任意实数x，有x－a＞0或x－b≤0”，其中a，b是常数．

(1)写出命题p的否定；

(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？

解：(1)命题p的否定：存在实数x，有x－a≤0且x－b＞0.

(2)要使命题p的否定为真，需要使的解集不为空集，通过画数轴可看出，a，b应满足的条件是b＜a.

层级(三)　素养培优练

已知命题p：∀x∈R，x2＋2x＋a≥0，命题q：∃x∈，x2－a≥0.命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围．

解：若命题p：∀x∈R，x2＋2x＋a≥0为真命题，则Δ＝22－4a≤0，

∴a≥1.

若命题q：∃x∈，x2－a≥0为真命题，则a≤x2，即a≤(x2)max，

∴a≤.

∴p，q均为假命题时，即，

其补集为，

∴p，q至少有一个为真命题时，实数a的取值范围为.