新人教A版高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用单元形成性评价含解析 试卷

单元形成性评价(一)(第六章)

(120分钟　150分)

一、单选题(每小题5分，共40分)

1．在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝(　　)

A．2＋    B．－2

C．2－    D．＋2

【解析】选C.在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝＋＝＋＝＋(＋)＝2－.

2．已知向量a＝(1，1)，b＝(0，2)，且λa＋μb＝(2，8)，则λ－μ＝(　　)

A．5    B．－5    C．1    D．－1

【解析】选D.因为a＝(1，1)，b＝(0，2)，

所以λa＋μb＝(λ，λ＋2μ)，

因为λa＋μb＝(2，8)，

所以(λ，λ＋2μ)＝(2，8)，所以λ＝2，μ＝3，

所以λ－μ＝－1.

3．向量a＝(1，0)，b＝(2，1)，c＝(x，1)，若3a－b与c共线，则x＝(　　)

A．1    B．－3    C．－2    D．－1

【解析】选D.向量a＝(1，0)，b＝(2，1)，c＝(x，1)，则3a－b＝(1，－1)，又3a－b与c共线，则1×1－(－1)·x＝0，解得x＝－1.

4．(2021·宁波高一检测)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于(　　)

A．    B．2    C．4    D．12

【解析】选B.因为a＝(2，0)，|b|＝1

所以|a|＝2，a·b＝2×1×cos 60°＝1

所以|a＋2b|＝＝2

5．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边长为(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选B.A＝180°－(60°＋45°)＝75°，

故最短边为b，由正弦定理可得＝，

即b＝＝＝.

6．如图所示，下列结论正确的是(　　)

①＝a＋b；②＝a－b；

③＝a－b；④＝a＋b.

A．①②    B．③④    C．①③    D．②④

【解析】选C.①根据向量的加法法则，得＝a＋b，故①正确；②根据向量的减法法则，得＝a－b，故②错误；③＝＋＝a＋

b－2b＝a－b，故③正确；④＝＋＝a＋b－b＝a＋

b，故④错误．

7．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3，2)，f3＝(7，－3)同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，需再加上一个力f4，则f4＝(　　)

A．(－2，－2)      B．(2，－2)

C．(－1，2)       D．(－2，2)

【解析】选D.由物理知识，知物体平衡，则所受合力为H，所以f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(－2，2).

8．(2021·济宁高一检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若

tan C＝，cos A＝，b＝3，则△ABC的面积为(　　)

A．3       B．

C．       D．

【解析】选B.因为tan C＝＝且sin 2C＋cos 2C＝1，解得sin C＝，cos C＝.又cos A＝，所以sin A＝＝，

故sin B＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)

＝sin A cos C＋cos A sin C＝.

因为＝，b＝3，故a＝＝2，

S△ABC＝×ab sin C＝×2×3×＝.

二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)

9．对于任意的平面向量a，b，c，下列说法正确的是(　　)

A．若a∥b且b∥c，则a∥c

B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c

C．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c

D．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

【解析】选BD.a∥b且b∥c，当b为零向量时，则a与c不一定共线，即A错误；

由向量乘法的分配律可得：

(a＋b)·c＝a·c＋b·c，即B正确；

因为a·b＝a·c，则a·(b＋c)＝0，

又a≠0，则b＝c或a⊥(b＋c)，即C错误；

向量加法满足结合律，即：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，即D正确．

10．(2021·青岛高一检测)已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，则(a－b)·(2b－c)的值可能为(　　)

A．－2      B．3－

C．0       D．－

【解析】选ACD.|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝，则cos θ＝，θ＝60°，

所以|b－a|＝＝1，则(a－b)·(2b－c)＝2a·b－a·c－2b2＋b·c＝1－2＋c·(b－a)＝－1＋cos α，其中α为c与b－a的夹角，且α∈[0，π]，因为

cos α∈[－1，1]，

所以cos α－1∈[－2，0].

11.(2021·南通高一检测)如图，B是AC的中点，＝2，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且＝x＋y，则下列结论正确的为(　　)

A．当x＝0时，y∈

B．当P是线段CE的中点时，x＝－，y＝

C．若x＋y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段

D．x－y的最大值为－1

【解析】选BCD.当x＝0时，＝y，则P在线段BE上，故1≤y≤3，故A错．当P是线段CE的中点时，＝＋＝3＋(＋)＝3＋(－2＋)

＝－＋，

故B对．x＋y为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，故P的轨迹是线段，故C对．

如图，过P作PM∥AO，交OE于M，作PN∥OE，交AO的延长线于N，则：＝＋；又＝x＋y；所以x≤0，y≤1；由图形看出，当P与B重合时，＝0·＋1·；

此时x取最大值0，y取最小值1；所以x－y取最大值－1，故D正确．

12．(2021·怀化高一检测)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，cos2A－cos2B－cos2C＝cosA cos B＋cos C－cos 2B且c＝，则下列结论中正确的是(　　)

A．C＝

B．C＝

C．△ABC面积的最大值为

D．△ABC面积的最大值为

【解析】选BC.因为cos2A－cos2B－cos2C＝cosAcos B＋cos C－cos 2B，

所以(1－sin2A)－(1－sin2B)－(1－sin2C)＝cosA cos B－cos (A＋B)－(1－2sin2B)，

所以sinA sin B＋sin2B＋sin2A－sin2C＝0，

由正弦定理可得ab＋b2＋a2－c2＝0，

可得cosC＝－，可得C＝，故A错误；B正确；又c＝，可得3＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab，

解得ab≤1，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以S△ABC＝ab sin C≤×1×＝，故C正确；D错误．

三、填空题(每小题5分，共20分)

13．已知a＝(2，－2)，b＝(x，2)，若a·b＝6，则x＝____________．

【解析】因为a＝(2，－2)，b＝(x，2)，

所以a·b＝2x－4，

又因为a·b＝6，

所以2x－4＝6，解得x＝5.

答案：5

14．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若2a sin B＝b，b＋c＝5，bc＝6，则a＝__________．

【解析】因为2a sin B＝b，

所以2sin A sin B＝sin B.

所以sin A＝，

因为△ABC为锐角三角形，

所以cos A＝，

因为bc＝6，b＋c＝5，

所以b＝2，c＝3或b＝3，c＝2.

所以a2＝b2＋c2－2bc cos A＝22＋32－2×6×＝7，所以a＝.

答案：

15．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝2，则的模为__________．

【解析】因为在平行四边形ABCD中，＝＋＝－，

又＝，＝，

所以＝－，

所以·＝·＝·－2＝||||cos 60°－||2

＝||－1＝2，所以||＝12.

答案：12

16．(2021·天津高一检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若m＝，n＝，且m⊥n，则A＝________；若△ABC的面积为2，则△ABC的周长的最小值为____________．

【解析】由条件可知m·n＝sin C＋＝0，

由正弦定理可得c＋＝0，

所以bc－c2＋a2－b2＝0即bc＝b2＋c2－a2，

cos A＝＝＝，

因为0<A<π，所以A＝；

S＝bc sin A＝bc＝2，解得bc＝8，

a2＝b2＋c2－2bc cos ＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝8即a≥2，当b＝c＝2时，等号成立，

b＋c≥2＝4，当b＝c时等号成立，

所以a＋b＋c≥2＋4＝6，

当b＝c时，a＋b＋c时取得最小值6.

答案：　6

四、解答题(共70分)

17．(10分)在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，求：

(1)2＋的模；(2)cos ∠BAC.

【解析】(1)如图，

＝(－1，1)，＝(1，5)，

故2＋＝(－2，2)＋(1，5)＝(－1，7)，

故|2＋|＝＝5；

(2)cos ∠BAC＝＝

＝ ＝.

18．(12分)如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若＝a，＝b，试用a，b表示，，.

【解析】由题意知四边形ANCD是平行四边形．

则＝＝＝a，

＝－＝－＝b－a，

＝－＝－－

＝－－

＝a－b.

19．(12分)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．

(1)求渔船甲的速度；

(2)求sin α的值．

【解析】(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.

在△ABC中，由余弦定理，得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC

＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，

解得BC＝28.

所以渔船甲的速度为＝14(海里/时).

(2)在△ABC中，AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，

由正弦定理，得＝，

所以sin α＝＝＝.

20．(12分)(2020·新高考全国Ⅰ卷)在①ac＝，②c sin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【解析】选条件①ac＝.

在△ABC中，sin A＝sin B，

即b＝a，ac＝，所以c＝，

cos C＝＝＝，

所以a＝，b＝1，c＝1.

选条件②c sin A＝3.

在△ABC中，c sin A＝a sin C＝a sin ＝3，所以a＝6.

因为sin A＝sin B，即a＝b，所以b＝2，

cos C＝＝＝，

所以c＝2，

选条件③c＝b.

由sin A＝sin B可得a＝b，

又c＝b，

所以cos C＝＝≠cos ，与已知条件C＝相矛盾，所以问题中的三角形不存在．

21．(12分)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a2＋c2－b2＝ac.

(1)求角B的大小；

(2)若2b cos A＝(c cos A＋a cos C)，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．

【解析】(1)由余弦定理得

cos B＝＝＝，

因为B是三角形的内角，所以B＝.

(2)由正弦定理得＝＝，代入2b cos A＝(c cos A＋

a cos C)，

可得2sin B cos A＝(sin C cos A＋sin A cos C)，

即2sin B cos A＝sin B，

因为sin B≠0，所以cos A＝，

所以A＝，

于是C＝π－A－B＝.

设AC＝m，则BC＝m，AB＝m，CM＝m，

由余弦定理可知AM2＝CM2＋AC2－2CM·AC·cos ，

即()2＝m2＋m2－2·m·m·(－)

＝m2，解得m＝2.

于是S△ABC＝CA·CB sin ＝×2×2×＝.

22．(12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin ＝

b sin A.

(1)求B；

(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．

【解析】(1)由题设及正弦定理得sin A sin ＝sin B sin A.

因为sin A≠0，所以sin ＝sin B.

由A＋B＋C＝180°，可得sin ＝cos ，

故cos ＝2sin cos .

因为cos ≠0，故sin ＝，因此B＝60°.

(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC

＝ac sin B＝a.

由正弦定理得a＝＝＝＋.

由于△ABC为锐角三角形，

故0°<A<90°，0°<C<90°，

由(1)知A＋C＝120°，

所以30°<C<90°，tan C＞，

故<a<2，从而<S△ABC<.

因此，△ABC面积的取值范围是.