高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第九章 统计9.2 用样本估计总体导学案及答案

总体离散程度的估计

有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本(如表所示)检查它们的抗拉强度(单位：kg/mm2)，通过计算发现，两个样本的平均数均为125 kg/mm2.

[问题]　哪种钢筋的质量较好？

知识点　总体离散程度的估计

1．平均距离

假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数．我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”，即|xi－|(i＝1,2，…，n)作为xi到的“距离”．可以得到这组数据x1，x2，…，xn到的“平均距离”为xi－|.

2．方差、标准差

绝对值改用平方来代替，即(xi－)2＝－2，我们称为这组数据的方差．取它的算术平方根，即 ，我们称为这组数据的标准差．

3．总体方差、总体标准差

如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝(Yi－)2为总体方差，S＝为总体标准差．

如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频率为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝i(Yi－)2.

4．样本方差、样本标准差

如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝(yi－)2为样本方差，s＝为样本标准差．

标准差、方差的意义

(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差；

(2)标准差、方差的取值范围[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性；

(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分解程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．　　　　

　数据的标准差大小与数据的离散程度有什么关系？

提示：标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定．(　　)

(2)数据的方差越大，样本数据分布越集中、稳定．(　　)

(3)数据的标准差越小，数据分布越集中、波动幅度越小．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)√

2．现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的标准差是(　　)

A．1　　 　 B．2　　 　　

C．3　　 　　 D．4

解析：选A　由s2＝－2，得s2＝×100－32＝1，∴s＝1.

3．国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表：

则应派________参赛最为合适．

解析：由表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适．

答案：丙

[例1]　(链接教科书第214页练习4题)从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测它们的株高(单位：cm)如下：

甲：25　41　40　37　22　14　19　39　21　42

乙：27　16　44　27　44　16　40　40　16　40

问：(1)哪种玉米苗长得高？

(2)哪种玉米苗长得齐？

[解]　(1)甲＝(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝×300＝30(cm)，

乙＝(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝×310＝31(cm)．

所以甲<乙，即乙种玉米苗长得高．

(2)s＝[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝×1 042＝104.2(cm2)，

s＝[2×(27－31)2＋3×(16－31)2＋2×(44－31)2＋3×(40－31)2]＝×1 288＝128.8(cm2)．

所以s<s，即甲种玉米苗长得齐．

用样本的标准差、方差估计总体的方法

用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似．在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策．在平均数相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性．　　　　

[跟踪训练]

甲、乙两种冬小麦连续5年的平均单位面积产量(单位：t/km2)如下：

其中产量比较稳定的冬小麦品种是________．

解析：甲＝×(9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2)＝10(t/km2)，

乙＝×(9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8)＝10(t/km2)，

即甲、乙两种冬小麦的平均产量都为 10 t/km2.

s＝×(0.04＋0.01＋0.01＋0＋0.04)＝0.02，

s＝×(0.36＋0.09＋0.64＋0.09＋0.04)＝0.244，

即s<s，故甲种冬小麦的产量比较稳定．

答案：甲

[例2]　(链接教科书第212页例6)甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？

[解]　由题意可知甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为w甲＝＝，

乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为w乙＝＝，

则甲、乙两队全部队员的平均体重为

＝w甲甲＋w乙乙＝×60＋×70＝68(kg)，

甲、乙两队全部队员的体重的方差为

s2＝w甲[s＋(甲－)2]＋w乙[s乙＋(乙－)2]

＝[200＋(60－68)2]＋[300＋(70－68)2]＝296.

计算分层随机抽样的方差s2的步骤

(1)确定1，2，s，s；

(2)确定；

(3)应用公式s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]，计算s2.

[跟踪训练]

在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为16.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，求合在一起后的样本平均数与方差．(精确到0.1.)

解：把甲同学抽取的样本的平均数记为x，方差记为s；把乙同学抽取的样本的平均数记为y，方差记为s；把合在一起后的样本的平均数记为a，方差记为s2.

则＝≈5.4，

s2＝

＝

≈12.4.

即样本的平均数为5.4，方差为12.4.

1．在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是(　　)

A．平均数　　　　　　　　 B．标准差

C．众数  D．中位数

解析：选B　由B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，可得平均数、众数、中位数分别是原来结果减去5，即与A样本不相同，标准差不变，故选B.

2．若样本数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为16，则数据x1，x2，…，x10的标准差为________．

解析：设数据x1，x2，…，x10的标准差为s，∵样本数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为16，∴4s2＝162，解得s＝8.

答案：8

3．为调查高一年级学生期中考试数学成绩的情况，从(1)班抽取了12名学生的成绩，他们的平均分为91分，方差为3，从(2)班抽取了8名学生的成绩，他们的平均分为89分，方差为5，则合在一起后的样本均值为________，样本方差为________．

解析：样本均值＝＝90.2，

样本方差s2＝

＝4.76.

答案：90.2　4.76

4．甲、乙两台机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中抽取6件，测量数据分别为：

甲：99　100　98　100　100　103

乙：99　100　102　99　100　100

(1)分别计算两组数据的平均数及方差；

(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．

解：(1)甲＝[99＋100＋98＋100＋100＋103]＝100，

乙＝[99＋100＋102＋99＋100＋100]＝100，

s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，

s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.

(2)由(1)知甲＝乙，比较它们的方差，因为s＞s，

故乙机床加工零件的质量更稳定．