高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体精品学案

9.2.3　总体集中趋势的估计

知识点　众数、中位数、平均数

1．众数、中位数和平均数的定义

(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．

(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数．

(3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数．

2．众数、中位数和平均数的比较

3．众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系

(1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替．

(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．

(3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据．

(1)中位数一定是样本数据中的一个数吗？

(2)一组数据的众数可以有几个？中位数是否也具有相同的结论？

[提示]　(1)不一定．一组数据按大小顺序排列后，如果有奇数个数据，处于中间位置的数是中位数；如果有偶数个数据，则取中间两个数据的平均数是中位数．

(2)一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，中位数只有唯一一个．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的． (　　)

(2)样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据． (　　)

(3)若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

2．一组样本数据为：19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27，则这组数据的众数和中位数分别为(　　)

A．14,14　　　　　　　 B．12,14

C．14,15.5   D．12,15.5

A　[把这组数据按从小到大排列为：10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27，则可知其众数为14，中位数为14．]

3．已知甲、乙两组数据按从小到大排列后如下所示：

甲：27，m,39；

乙：n,32,34,38．

若这两组数据的中位数相同，平均数也相同，则＝________．

　[因为两组数据的中位数相同，所以m＝(32＋34)＝33，由于两组数据的平均数相同，所以(27＋33＋39)＝(n＋32＋34＋38)．解得n＝28，故＝．]

4．已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________．

6　[＝6．]

类型1　平均数、中位数和众数的计算

【例1】　已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　)

A．a＞b＞c　　　 B．a＞c＞b

C．c＞a＞b   D．c＞b＞a

D　[由题意得a＝(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝＝15.7，中位数为16，众数为18，则b＝16，c＝18，∴c＞b＞a．]

1．求样本数据的中位数和众数时，把数据按照从小到大的顺序排列后，按照其求法进行．

2．求样本数据的平均数的难点在于计算的准确性．

1．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数如下所示 ：

甲：20,22,27,8,12,13,37,25,24,26

乙：14,9,13,18,19,20,23,21,21,11

则下面结论中正确的是________(填序号)．

①甲的极差是29；②乙的众数是21；③甲的平均数为21.4；④甲的中位数是24．

①②③　[把两组数据按从小到大的顺序排列，得

甲：8,12,13,20,22,24,25,26,27,37

乙：9,11,13,14,18,19,20,21,21,23

故甲的最大值为37，最小值为8，则极差为29，所以①正确；乙中出现最多的数据是21，所以②正确；甲的平均数为甲＝(8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋37)＝21.4，所以③正确；甲的中位数为(22＋24)＝23，故④不正确．]

类型2　平均数、中位数和众数的实际应用

【例2】　下面是某快餐店所有工作人员一周的收入表：

(1)计算所有人员的周平均收入．这个平均收入能反映打工人员的周收入的一般水平吗？为什么？

(2)去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的周收入的水平吗？

[解]　(1)周平均收入1＝(3 000＋450＋350＋400＋320＋320＋410)＝750(元)．

这个平均收入不能反映打工人员的周收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员．

(2)去掉老板的收入后的周平均收入2＝(450＋350＋400＋320＋320＋410)＝375(元)．

这能代表打工人员的周收入水平．

利用样本数字特征进行决策时的两个关注点

(1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征．

(2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值．

2．某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：

甲群：13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；

乙群：54,3,4,4,5,5,6,6,6,57．

(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？

(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？

[解]　(1)甲群市民年龄的平均数为

＝15(岁)，

中位数为15岁，众数为15岁．平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．

(2)乙群市民年龄的平均数为

＝15(岁)，

中位数为5.5岁，众数为6岁．

由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．

类型3　根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数

【例3】　(对接教材P205例5)某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．

(1)求这次测试数学成绩的众数；

(2)求这次测试数学成绩的中位数．

1．频率分布直方图中每个小矩形的面积代表什么？

[提示]　频率分布直方图中每个小矩形的面积是样本数据落在这一组的频率．

2．在频率分布直方图中，如何确定众数和中位数？

[提示]　在频率分布直方图中，众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据；中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．

[解]　(1)由题干图知众数为＝75．

(2)由题干图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3．

众数、中位数、平均数与频率分布直方图有什么关系？

[提示]　(1)众数：众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的底边中点的横坐标．

(2)中位数：在样本中，有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值．

3平均数：用频率分布直方图估计平均数时，平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以每个小矩形底边中点的横坐标之和.

3．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷．现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下．

使用A款软件的100个商家“平

均送达时间”的频率分布直方图

使用B款软件的100个商家“平

均送达时间”的频率分布直方图

(1)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；

(2)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？

[解]　(1)依题意，可得该市使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数约为55，平均数约为15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40．

(2)该市使用B款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数约为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35＜40，所以选B款订餐软件．

1．一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均值为(　　)

A．4.55　　　B．4.5　　　C．12.5　　　D．1.64

A　[由题意得＝(4×3＋3×2＋5×4＋6×2)≈4.55．]

2．下列数字特征一定会在原始数据中出现的是(　　)

A．众数   B．中位数

C．平均数   D．都不会

A　[众数是在一组数据中出现次数最多的数，所以一定会在原始数据中出现．]

3．已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数为________．

5　[∵－1,0,4，x,7,14的中位数为5，∴＝5，∴x＝6．

∴这组数据的平均数是＝5．]

4．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05．

则(1)高一参赛学生成绩的中位数为________；

(2)高一参赛学生的平均成绩为________．

(1)65分　(2)67分　[∵第一个小矩形的面积为0.3，前两个小矩形的面积和为0.3＋0.4＝0.7＞0.5设第二个小矩形底边的一部分长为x，则x×0.04＝0.2，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65分．

依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，所以平均成绩约为67分．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)众数、中位数、平均数的定义是什么？

(2)如何由频率分布直方图求一组数据的众数、中位数、平均数？

(3)众数、中位数、平均数反映了一组数据的什么性质？