人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体学案

 9.2.4　 总体离散程度的估计

【学习目标】

【自主学习】

一．方差和标准差

假设一组数据是，用表示这组数据的平均数，那么这组数据的方差

s2＝         ，标准差s＝         。

二．总体方差和标准差

1.总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为，则称S2＝       为总体方差，S＝    为总体标准差．

2.总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝i(Yi－)2.

三．样本方差和标准差

如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称

s2＝         为样本方差，s＝     为样本标准差．

四．分层随机抽样的方差

设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为1，2，方差分别为s，s，则这个样本的方差为

五．标准差的意义

标准差刻画了数据的      或       ，标准差越大，数据的离散程度越   ；标准差越小，数据的离散程度越    ．

【小试牛刀】

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0.(　　)

(2)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散． (　　)

2.已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为(　　)

A．1　　　　B．　　　　C．　　　　D．2

【经典例题】

题型一  方差和标准差的计算

例1 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件,为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为

甲：99　100　98　100　100　103；

乙：99　100　102　99　100　100.

(1)分别计算两组数据的平均数及方差；

(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．

【跟踪训练】1 甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数及其方差s2如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是(  　)

A.甲         B．乙      C．丙   D．丁

题型二 分层随机抽样的方差

例2 随机调查某校50个学生的午餐费，结果如下表，这50个学生午餐费的平均值和方差分别是(　 　)

A.4,0.6       B．4，       C．4.2,0.56     D．4.2，

【跟踪训练】2已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6,2019年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10, 8，则二线城市的房价的方差为________．

【当堂达标】

1.下列对一组数据的分析,不正确的说法是(   )

A.数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定
B.数据平均数越小,样本数据分布越集中、稳定
C.数据标准差越小,样本数据分布越集中、稳定
D.数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定

2.一个样本,3,5,7的平均数是,且是方程的两根,则这个样本的方差是(   )

A.3            B.4          C.5              D.6

3.某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4，

则：(1)平均命中环数为________；(2)命中环数的标准差为________．

4.若样本的平均数为10,其方差为2,则样本的平均数为____________,方差为____________.

5.某校医务室抽查了高一10位同学的体重(单位：kg)如下：

74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.

(1)求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差；

(2)估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差．

6.甲、乙两支田径队体检结果为：甲队的体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？

【参考答案】

【自主学习】

       (Yi－)2        （yi－)2        

s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]    离散程度  波动幅度 大  小

【小试牛刀】

1.(1)√　(2)×

2.B

【经典例题】

例1 解：(1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，

乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.

s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，

s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.

(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s＞s，所以乙机床加工零件的质量更稳定．

【跟踪训练】1 B 解析：∵乙＝丙>甲＝丁，且s＝s<s<s，故应选择乙进入决赛.

例2 C 解析：根据题意，得这50个学生午餐费的平均值是：＝(3×10＋4×20＋5×20)＝4.2，

方差是：s2＝[10×(3－4.2)2＋20×(4－4.2)2＋20×(5－4.2)2]＝0.56，故选C.

【跟踪训练】2 118.52　解析：设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知

20＝[s2＋(1.2－2.4)2]＋[10＋(1.2－1.8)2]＋[8＋(1.2－0.8)2]，

解得s2＝118.52，即二线城市的房价的方差为118.52.

【当堂达标】

1. B

2.C 解析：根据平均数和方差的公式可知,
由于一个样本,3,5,7的平均数是,那么可知,
同时是方程的两根,则可知,,那么解方程可知,,那么可知样本的方差为,故选C.

3.(1)7　(2)2　解析：(1)＝＝7.

(2)∵s2＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.

4. 11; 2解析：对比两组数据我们发现后一组的每个数据都比前一组的每个数据多1,所以平均数增加1,方差不变。

5.解：(1)这10个学生体重数据的平均数为＝×(74＋71＋72＋68＋76＋73＋67＋70＋65＋74)＝71.这10个学生体重数据从小到大依次为65,67,68,70,71,72,73,74,74,76，位于中间的两个数是71,72，∴这10个学生体重数据的中位数为＝71.5.

这10个学生体重数据的方差为s2＝×[(74－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(68－71)2＋(76－71)2＋(73－71)2＋(67－71)2＋(70－71)2＋(65－71)2＋(74－71)2]＝11，

这10个学生体重数据的标准差为s＝＝.

(2)由样本估计总体得高一所有学生体重数据的平均数为71，中位数为71.5，方差为11，标准差为.

6.解：由题意可知甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为＝，

乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为＝，

则甲、乙两队全部队员的平均体重为＝×60＋×70＝68 kg，

甲、乙两队全部队员的体重的方差为s2＝[200＋(60－68)2]＋[300＋(70－68)2]＝296.