高中数学9.2 用样本估计总体学案

总体取值规律的估计

与传统相机比较，在数码相机中，有一种十分实用的功能，这就是直方图显示功能．直方图就是通过在LCD上显示出来的曝光量柱形图来确定照片曝光量大小的工具，通过直方图的横轴和纵轴我们可以直观地看出拍摄的照片的曝光情况，在拍摄时能给摄影者带来很大的方便．

[问题]　你知道直方图还有哪些性质及作用吗？

知识点一　绘制频率分布直方图的步骤

判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)频率分布直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值．(　　)

(2)频率分布直方图中小长方形的面积表示该组的个体数．(　　)

(3)频率分布直方图中所有小长方形面积之和为1.(　　)

(4)样本量越大，用样本的频率分布去估计总体的频率分布就越准确．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√

知识点二　其他统计图表

扇形统计图与折线统计图分别有什么特点？

提示：扇形统计图能够直观地反映各个类别在总体中所占的比例，折线统计图可以看出变化趋势．

1．要反映某市一周内每天的最高气温的变化情况，宜采用(　　)

A．条形统计图

B．扇形统计图

C．折线统计图

D．频率分布直方图

解析：选C　描述数据随时间的变化趋势宜采用折线统计图．

2．下面是2017年至2020年我国人口出生率、人口死亡率和人口自然增长率的条形图(如图所示)．

注：人口出生率＝×100%，

人口死亡率＝×100%，

人口自然增长率＝人口出生率－人口死亡率．

下面说法正确的是(　　)

A．2018年我国二孩政策全面实施后，人口出生率不断提升

B．2017年以来，随着医疗水平不断提升，我国人口死亡率显著下降

C．2018年以来，我国人口增速逐渐放缓

D．2020年人口较2019年减少

解析：选C　根据条形图的特点及作用，对比各相关数据间的关系，即可排除A、B、D，故选C.

[例1]　调查某校初二年级男生的身高，随机抽取40名初二男生，实测身高数据(单位：cm)如下：

171　163　163　166　166　168　168　160　168　165

171　169　167　169　151　168　170　168　160　174

165　168　174　159　167　156　157　164　169　180

176　157　162　161　158　164　163　163　167　161

(1)作出频率分布表；

(2)画出频率分布直方图．

[解]　(1)最低身高151 cm，最高身高180 cm，它们的差是180－151＝29，即极差为29；确定组距为4，组数为8，列表如下：

(2)频率分布直方图如图所示．

1．在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：

(1)若是整数，则＝组数；

(2)若不是整数，则的整数部分＋1＝组数．

2．绘图时，应以横轴表示分组，纵轴表示各组频率与组距的比值，以各个组距为底，以各频率除以组距的商为高，分别画成矩形，便得到频率分布直方图．　　　　

[跟踪训练]

为了了解九年级学生中女生的身高(单位：cm)情况，某中学对九年级女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出的频率分布表如下：

(1)求出表中m，n，M，N所表示的数分别是多少？

(2)画出频率分布直方图．

解：(1)法一：N＝1.00，n＝1－(0.02＋0.08＋0.40＋0.30＋0.16)＝0.04，＝，

∴m＝2，M＝1＋4＋20＋15＋8＋2＝50.

法二：M＝＝50，m＝50－(1＋4＋20＋15＋8)＝2，

N＝1.00，n＝＝＝0.04.

(2)作出直角坐标系，组距为4，纵轴表示，横轴表示身高，画出频率分布直方图如图所示．

[例2]　(1)如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5，26.5]．样本数据的分组为[20.5，21.5)，[21.5，22.5)，[22.5，23.5)，[23.5，24.5)，[24.5，25.5)，[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________；

(2)某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图所示)，由图中数据可知a＝________．若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为________．

[解析]　(1)样本中平均气温低于22.5 ℃的城市的频率为0.10×1＋0.12×1＝0.22，样本中的城市总个数为11÷0.22＝50，样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市的频率为0.18×1＝0.18，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为50×0.18＝9.

(2)因为频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，所以10×(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)＝1，解得a＝0.030.由图可知身高在[120，150]内的学生人数为100×10×(0.030＋0.020＋0.010)＝60，其中身高在[140，150]内的学生人数为10，所以从身高在[140，150]内的学生中选取的人数为×10＝3.

[答案]　(1)9　(2)0.030　3

解决与频率分布直方图有关的计算问题的方法

由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：

(1)小长方形的面积＝组距×＝频率；

(2)各小长方形的面积之和等于1；

(3)＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数．　　　　

[跟踪训练]

如图是60名学生参加数学竞赛的成绩(均为整数，满分100分)的频率分布直方图，估计这次数学竞赛的及格率(60分及以上为及格)是(　　)

A．75%　　 B．25%　　　

C．15%　　　 D．40%

解析：选A　大于或等于60分的共四组，它们是[59.5，69.5)，[69.5，79.5)，[79.5，89.5)，[89.5，99.5]，

故样本中60分及以上的频率为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75.

由此可估计这次数学竞赛的及格率为75%.

[例3]　(链接教科书第198页例1)(1)(多选)某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A.结伴步行，B.自行乘车，C.家人接送，D.其他方式．并将收集的数据整理绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息可知，下列说法正确的是(　　)

A．扇形统计图中D的占比最小

B．条形统计图中A和C一样高

C．无法计算扇形统计图中A的占比

D．估计该校一半的学生选择结伴步行或家人接送

(2)随着2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长．如图是2012年至2018年中国雪场滑雪人次(单位：万)与同比增长率的统计图，则下面结论中不正确的是(　　)

A．2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加

B．2013年至2015年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加

C．2018年与2013年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等

D．2018年与2016年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为30.5%

[解析]　(1)由条形统计图知，自行乘车上学的有42人，家人接送上学的有30人，其他方式上学的有18人，采用B，C，D三种方式上学的共90人，设结伴步行上学的有x人，由扇形统计图知，结伴步行上学与自行乘车上学的学生占60%，所以＝，解得x＝30，故条形图中A，C一样高，故B正确；扇形图中A的占比与C一样，都为25%，A和C共占50%，故D正确；D的占比最小，故A正确．

(2)对于A，2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加，故A正确；对于B，2013年至2015年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加，故B正确；对于C，2018年与2013年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，但是同比增长人数不相等，2018年比2013年增长人数多，故C错误；对于D，2018年与2016年相比，中国雪场滑雪人次增长率为：×100%≈30.5%.故D正确．故选C.

[答案]　(1)ABD　(2)C

1．常用统计图的优势

条形图可以直观地表示各个项目的具体数量，扇形图能够清晰地显示各个项目占总体的百分比，折线图可以清楚地看到数据变动趋势，解决统计类问题时常需将若干种统计图结合，不能孤立分开．

2．求百分比确定扇形圆心角的度数

在扇形图中，每部分对应扇形的圆心角的度数＝360°×该部分占总体的百分比．所以要求圆心角的度数，则需求出该部分占总体的百分比．　　　　

[跟踪训练]

每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰．为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民(问卷调查表如下表所示)，并根据调查结果绘制了尚不完整的统计图(如图所示)．

由两个统计图可知，选择d的人数和扇形统计图中e的圆心角度数分别为(　　)

A．500，28.8°  B．250，28.6° 

C．500，28.6°  D．250，28.8°

解析：选A　设接受调查市民的总人数为x，由调查结果条形统计图可知选择a的人数为300，通过调查结果的扇形统计图可知选择a的人数比例为15%，∴15%＝，解得x＝2 000.∴选择d的人数为2 000×25%＝500，∴扇形统计图中e的圆心角度数为(1－15%－12%－40%－25%)×360°＝28.8°.

1.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为(　　)

A．93　　　　　　　　　 B．123

C．137  D．167

解析：选C　由题图知，该校女教师的人数为110×70%＋150×(1－60%)＝77＋60＝137.

2．如图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图．已知该校在校学生3 000人，根据统计图计算该校共捐款________元．

解析：根据统计图，得

高一人数为3 000×32%＝960，捐款960×15＝14 400(元)；

高二人数为3 000×33%＝990，捐款990×13＝12 870(元)；

高三人数为3 000×35%＝1 050，捐款1 050×10＝10 500(元)．

所以该校学生共捐款14 400＋12 870＋10 500＝37 770(元)．

答案：37 770

3．某校100名学生期中考试语文成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．

(1)求图中a的值；

(2)若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数.

解：(1)依题意得，10×(2a＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得a＝0.005.

(2)数学成绩在[50，60)之间的人数为100×0.05＝5，数学成绩在[60，70)之间的人数为100×0.4×＝20，数学成绩在[70，80)之间的人数为100×0.3×＝40，数学成绩在[80，90)之间的人数为100×0.2×＝25，所以数学成绩在[50，90)之外的人数为100－5－20－40－25＝10.