高中数学10.1 随机事件与概率学案

有限样本空间与随机事件

体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同的小球标上号码，分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，然后放入摇奖器中经过充分搅拌后先后摇出两个小球．

[问题]　观察该球的号码，你知道这个试验的结果有几种情况吗？

知识点一　随机试验及样本空间

1．随机试验的概念和特点

(1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母表示；

(2)随机试验的特点：

①试验可以在相同条件下重复进行；

②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；

③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．

2．样本点和样本空间

对样本点和样本空间的再理解

(1)样本点是指随机试验的每个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空间；

(2)只讨论样本空间为有限集的情况，即有限样本空间．　　　　

1．随机试验可以重复吗？

提示：可以重复．

2．如何确定试验的样本空间？

提示：确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)试验的样本点的个数是有限的．(　　)

(2)某同学竞选本班班长成功是随机事件．(　　)

(3)连续抛掷一枚硬币2次，“(正面，反面)，(反面，正面)”是同一个样本点．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×

2．从标有1，2，3，4，5的5张卡片中任取两张，观察取出的卡片上的数字．

(1)写出这个试验的样本空间；

(2)求这个试验的样本点的总数；

(3)“数字之和为5”这一事件包含哪几个样本点？

解：(1)这个试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}((1，2)表示抽出标有1，2的两张卡片)．

(2)样本点的总数是10.

(3)“数字之和为5”这一事件包含以下两个样本点：(1，4)，(2，3)．

知识点二　三种事件的定义

1．(多选)下列事件中是随机事件的是(　　)

A．连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上

B．异性电荷相互吸引

C．在标准大气压下，水在1 ℃结冰

D．买一注彩票中了特等奖

解析：选AD　A、D是随机事件，B为必然事件，C为不可能事件．

2．从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，则必然事件是(　　)

A．3件都是正品　　　　　 B．至少有1件次品

C．3件都是次品  D．至少有1件正品

解析：选D　将抽到正品记为1，次品记为0，则样本空间Ω＝{(1，1，0)，(1，0，0)，(1，1，1)}，因此至少有1件正品为必然事件．

3．在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是不可能事件的是(　　)

A．3个数字相邻  B．3个数字全是偶数

C．3个数字的和小于5  D．3个数字两两互质

解析：选C　从10个数字中任取3个数字，这3个数字的和大于或等于6，小于5的情况不可能发生，故“3个数字的和小于5”这一事件是不可能事件．

[例1]　指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：

(1)三角形的两边之和大于第三边；

(2)没有空气和水，人类可以生存下去；

(3)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；

(4)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．

[解]　(1)所有三角形的两边之和都大于第三边，所以是必然事件．

(2)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．

(3)任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任意一张，所以是随机事件．

(4)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．

判断一个事件是哪类事件的方法

一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；

二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．　　　　

[跟踪训练]

给出下列四个命题：

①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时，可使x2<0”是不可能事件；③“明天兰州要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件．

其中正确命题的序号是(　　)

A．①②③　 B．②③④　　

C．①②④　　D．①③④

解析：选C　①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”一定发生，是必然事件，①正确；②“当x为某一实数时，可使x2<0”不可能发生，没有哪个实数的平方小于0，是不可能事件，②正确；③“明天兰州要下雨”是随机事件，故③错；④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”有可能发生，有可能不发生，是随机事件，故④正确.

[例2]　(链接教科书第227页例1、例2、例3)下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间．

(1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次；

(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素．

[解]　(1)一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的样本空间为：{(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)}．

(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合”，试验的样本空间为：{(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)}．

写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法

(1)列举法：适用于样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏；

(2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏；

(3)树状图法：适用于较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举．　　　　

[跟踪训练]

连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币是正面朝上还是反面朝上．

(1)写出这个试验的样本空间Ω；

(2)用集合表示事件M＝“恰有2枚正面朝上”．

解：(1)画树状图如图所示．

因此这个试验的样本空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}．

(2)“恰有2枚正面朝上”包含(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3个样本点．

故M＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)}.

[例3]　(链接教科书第228页例4)做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数．写出：

(1)这个试验的样本空间Ω；

(2)这个试验的结果的个数；

(3)指出事件A＝{(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)}的含义．

[解]　(1)这个试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．

(2)这个试验的结果的个数为36.

(3)事件A的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为7.

[母题探究]

(变设问)根据例3中的样本空间Ω，写出“出现点数之和大于8”的所有样本点，并指出事件B＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}的含义．

解：事件“出现的点数之和大于8”的所有样本点为(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．

事件B的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数相同．

1．判断随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间：(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出所有样本点. 特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．

2．当试验中的结果不唯一时，一定要将各种可能都要考虑到，尤其是有顺序和无顺序的情况最易出错．　　　　

[跟踪训练]

用X表示10次射击中命中目标的次数，分别说明下列集合所代表的随机事件的含义．

(1)A＝{X＝8}；

(2)B＝{1≤X≤9}；

(3)C＝{X≥1}；

(4)D＝{X<1}．

解：(1)A＝{X＝8}表示“恰有8次命中目标”．

(2)B＝{1≤X≤9}表示“命中目标次数为1到9次”．

(3)C＝{X≥1}表示“命中目标次数为1到10次”．

(4)D＝{X<1}表示“没有一次命中目标”．

1．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集合A中任取两个不相同的数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有(　　)

A．7个  B．8个 

C．9个  D．10个

解析：选C　事件“点P落在x轴上”包含的样本点的特征是纵坐标为0.又集合A中有9个非零数，故选C.

2．下列事件中必然事件为________，不可能事件为________，随机事件为________(填序号)．

①13个人中至少有两个人生肖相同；

②车辆随机到达一个路口，遇到红灯；

③函数y＝logax(0＜a＜1)在定义域内为增函数；

④任意买一张电影票，座位号是2的倍数．

解析：因为共有12生肖，所以13个人中至少有两个人生肖相同，故①是必然事件；车辆随机到达一个路口，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或者黄灯，故②是随机事件；因为0＜a＜1，所以函数y＝logax在定义域内为减函数，所以③是不可能事件；买一张电影票，座位号可能是2的倍数，也可能不是2的倍数，故④是随机事件．

答案：①　③　②④

3．同时转动如图所示的两个转盘，记结果为(x，y)，其中x是转盘①中指针所指的数字，y是转盘②中指针所指的数字．

(1)写出这个试验的样本空间Ω；

(2)用集合表示事件A＝“x≤4，y>1”，事件B＝“x≤3，y>1”．

解：(1)样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．

(2)易知A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．

B＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)，(3，4)}．