2021学年9.2 用样本估计总体学案

总体百分位数的估计

某省数学考试结果揭晓，根据规定，0.8%的同学需要补考．

[问题]　你知道如何确定需要补考的分数线吗？

知识点　百分位数

1．第p百分位数的定义

一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．

2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤

第1步，按从小到大排列原始数据；

第2步，计算i＝n×p%；

第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．

3．四分位数

第25百分位数，第50百分位数，第75百分数．这三个分位数把一组数由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．

1．班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？

提示：不是．是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比．

2．“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？

提示：有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23.(　　)

(2)若一组样本数据的24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24.(　　)

答案：(1)×　(2)√

2．下列关于一组数据的第50百分位数的说法正确的是(　　)

A．第50百分位数就是中位数

B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%

C．它一定是这组数据中的一个数据

D．它适用于总体是离散型的数据

解析：选A　由百分位数的意义可知选项B、C、D错误．

3．数据7.0，8.4，8.4，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第30百分位数是________．

解析：因为8×30%＝2.4，故30%分位数是第三项数据8.4.

答案：8.4

4．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为________．

解析：样本数据低于10的比例为0.08＋0.32＝0.40，样本数据低于14的比例为0.40＋0.36＝0.76，所以此样本数据的第50百分位数在[10，14)内，估计此样本数据的第50百分位数为10＋×4＝.

答案：

[例1]　(链接教科书第202页例2)从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：

7．9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.

(1)分别求出这组数据的第25，50，95百分位数；

(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量；

(3)若用第25，50，95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．

[解]　(1)将所有数据从小到大排列，得

7．8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，

因为共有12个数据，

所以12×25%＝3，12×50%＝6，12×95%＝11.4，

则第25百分位数是＝8.15，

第50百分位数是＝8.5，

第95百分位数是第12个数据为9.9.

(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9.

即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8，7.9.

(3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15，第50百分位数为8.5，第95百分位数是9.9，所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品，质量大于8.5 g且小于或等于9.9 g的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品．

总体百分位数估计需要注意的两个问题

(1)总体百分位估计的基础是样本百分位数的计算，因此计算准确是关键；

(2)由于样本量比较少，因此对总体的估计可能存在误差，因此对总体百分位数的估计一般是估计值而非精确值．　　　　

[跟踪训练]

以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，则这15人成绩的第80百分位数是(　　)

A．90　　　　　　　　　 B．90.5

C．91  D．91.5

解析：选B　把成绩按从小到大的顺序排列为：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98.

因为15×80%＝12，所以这15人成绩的第80百分位数是＝90.5.

[例2]　(链接教科书第202页例3)某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．

(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式；

(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值；

(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数．

[解]　(1)当0≤x≤200时，y＝0.5x；

当200＜x≤400时，y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60；

当x＞400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140.

所以y与x之间的函数解析式为y＝

(2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量不超过400千瓦时的占80%，

结合频率分布直方图可知

解得a＝0.001 5，b＝0.002 0.

(3)设75%分位数为m，

因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，

用电量不超过400千瓦时的占80%，

所以用电量的75%分位数在[300，400)内，

由300＋100×＝375，所以用电量的75%分位数为375千瓦时．

1．根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数，首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算，其次估计百分位数在哪一组，再应用公式求解．

2．确定要求第p百分位数所在分组[A，B)，由频率分布表或频率分布直方图可知，样本中小于A的频率为a，小于B的频率为b，所以第p百分位数＝A＋组距×.　　　　

[跟踪训练]

某经销商从外地一水殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重量分类统计结果如图：

(1)估计这批小龙虾重量的第10百分位数与第90百分位数；

(2)该经销商将这批小龙虾分成三个等级，如表：

试估计这批小龙虾划为几等品比较合理？

解：(1)因为40×10%＝4，所以第10百分位数为第4项与第5项的平均数，在[5，15)范围内约为＝10.因为40×90%＝36，所以第90百分位数为第36项与第37项的平均数，在[35，55]范围内，约为＝45，所以估计这批小龙虾重量的第10百分位数为10，第90百分位数为45.

(2)由(1)知，这批小龙虾重量集中在[10，45]范围内，所以划为二等品比较合理．

1．下列一组数据的第25百分位数是(　　)

2．1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6

A．3.2  B．3.0

C．4.4  D．2.5

解析：选A　把该组数据按照由小到大排列，可得：2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2，是第25百分位数．

2．已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是(　　)

A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3

B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据

C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数

D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数

解析：选C　因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，故选C.

3．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25，30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：

(1)[25，30)年龄组对应小矩形的高度为________；

(2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的95%分位数为________岁．

解析：(1)设[25，30)年龄组对应小矩形的高度为h，则5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.

(2)由题图可知年龄小于40岁的频率为(0.01＋0.04＋0.07＋0.06)×5＝0.9，且所有志愿者的年龄都小于45岁，所以志愿者年龄的95%分位数在[40，45]内，因此志愿者年龄的95%分位数为40＋×5＝42.5(岁)．

答案：(1)0.04　(2)42.5