2020-2021学年9.2 用样本估计总体导学案

这是一份2020-2021学年9.2 用样本估计总体导学案，共4页。

[重点] 通过数字特征的计算，提升数学运算素养．
[难点] 借助实际统计问题的应用，培养数学建模素养．
要点整合夯基础
知识点 标准差、方差的概念与计算公式
[填一填]
1．标准差
标准差是样本数据到平均数的平均距离，一般用s表示，s＝eq \r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2).
2．方差
标准差的平方s2叫做方差．
s2＝eq \f(1,n)·eq \i\su(i＝1,n, )(yi－eq \x\t(y))2.
其中，yi是样本数据，n是样本量，eq \x\t(y)是样本平均数．
[答一答]
在统计中，计算方差的目的是什么？
提示：方差与标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，其值越大，数据离散程度越大，当其值为0时，说明样本各数据相等，没有离散性.
典例讲练破题型
类型 方差与标准差
[例] 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为：
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．
[分析] (1)直接利用求x与s2的公式求解．
(2)先比较x的大小，再分析s2的大小并下结论．
[解] (1)eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq \f(7,3)，seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)由(1)知eq \x\t(x)甲＝eq \x\t(x)乙，比较它们的方差，
∵seq \\al(2,甲)>seq \\al(2,乙)，∴乙机床加工零件的质量更稳定．
用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似.实际应用中，当所得数据的平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差方差分析稳定情况.
[变式训练] 甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数eq \x\t(x)及其方差s2如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是( B )
A.甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：∵eq \x\t(x)乙＝eq \x\t(x)丙>eq \x\t(x)甲＝eq \x\t(x)丁，且seq \\al(2,甲)＝seq \\al(2,乙) 课堂达标练经典
1．随机调查某校50个学生的午餐费，结果如下表，这50个学生午餐费的平均值和方差分别是( C )
A.4,0.6 B．4，eq \r(0.6)
C．4.2,0.56 D．4.2，eq \r(0.56)
解析：根据题意，得这50个学生午餐费的平均值是：
eq \x\t(x)＝eq \f(1,50)(3×10＋4×20＋5×20)＝4.2，
方差是：s2＝eq \f(1,50)[10×(3－4.2)2＋20×(4－4.2)2＋20×(5－4.2)2]＝0.56，故选C.
2．若样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为( B )
A．4 B．8
C．16 D．32
解析：因为样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，令yi＝2xi－1(i＝1,2，…，10)，所以y1，y2，…，y10的方差为sy＝s(2x－1)＝4sx＝8，故选B.
3．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，得到的数据分别为36、36、37、37、40、43、43、44、44，若用样本估计总体，年龄在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\x\t(x)－s，\x\t(x)＋s))内的人数占公司人数的百分比是(其中eq \x\t(x)是平均数，s为标准差，结果精确到1%)( C )
A．14% B．25%
C．56% D．67%
解析：因为eq \x\t(x)＝eq \f(36＋36＋37＋37＋40＋43＋43＋44＋44,9)＝40，s2＝eq \f(1,9)(16＋16＋9＋9＋0＋9＋9＋16＋16)＝eq \f(100,9)，即s＝eq \f(10,3)，年龄在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\x\t(x)－s，\x\t(x)＋s))内，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(110,3)，\f(130,3)))内的人数有5人，所以百分比为eq \f(5,9)≈56%，故选C.
4．已知数据x1，x2，x3的中位数为k，众数为m，平均数为n，方差为p，则下列说法中，错误的是( D )
A．数据2x1,2x2,2x3的中位数为2k
B．数据2x1,2x2,2x3的众数为2m
C．数据2x1,2x2,2x3的平均数为2n
D．数据2x1,2x2,2x3的方差为2p
解析：若数据x1，x2，x3的中位数为k，众数为m，平均数为n，则由性质知数据2x1,2x2,2x3的中位数，众数，平均数均变为原来的2倍，故A，B，C正确；则由方差的性质知数据2x1,2x2,2x3的方差为4p，故D错误．故选D.
5．已知数据x1，x2，…，x5,2的平均值为2，方差为1，则数据x1，x2，…，x5相对于原数据( C )
A．一样稳定
B．变得比较稳定
C．变得比较不稳定
D．稳定性不可以判断
解析：∵数据x1，x2，…，x5,2的平均值为2，方差为1，
∴eq \f(1,6)[(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＋(x4－2)2＋(x5－2)2＋(2－2)2]＝1，即eq \f(1,6)[(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＋(x4－2)2＋(x5－2)2]＝1，由题意可得数据x1，x2，…，x5的平均值为2，∴数据x1，x2，…，x5的方差s2＝eq \f(1,5)[(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＋(x4－2)2＋(x5－2)2]>1，∴数据x1，x2，…，x5相对于原数据变得比较不稳定．故选C.
——本课须掌握的三大问题
1．标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一个数据集的离散程度．
2．方差是衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量．概率论中方差用来度量随机变量和其均值之间的偏离程度．统计中的方差(样本方差)是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数．
3．方差的特性在于：方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小(即这批数据偏离平均数的大小)并把它叫做这组数据的方差．在样本量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．
甲
乙
丙
丁
eq \x\t(x)
7
8
8
7
s2
6.3
6.3
7
8.7
餐费(元)
3
4
5
人数
10
20
20