数学必修 第二册第14章 统计14.4 用样本估计总体学案

这是一份数学必修 第二册第14章 统计14.4 用样本估计总体学案，共11页。


1．一组数据的极差、样本方差、样本标准差
(1)一组数据的极差
我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差．
(2)样本方差和样本标准差
设一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为 eq \x\t(x) ，则称s2＝为这个样本的方差．其算术平方根s＝为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标准差．
(3)一个方差的计算公式
一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其方差为p1(x1― eq \x\t(x) )2＋p2(x2－ eq \x\t(x) )2＋…＋pn(xn－ eq \x\t(x) )2.
2．分层抽样数据的方差
一般地，如果总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1，xj2，…，，第j层的样本量为nj，样本平均数为 eq \x\t(x) j，样本方差为s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(j)) ，j＝1，2，…，k.记＝n，那么，所有数据的样本方差为＝＝．
1．某校为了丰富校园文化，举行初中生书法大赛，决赛设置了6个获奖名额，共有11名选手进入决赛，选手决赛得分均不相同．若知道某位选手的决赛的得分，要判断他是否获奖，只需知道这11名学生决赛得分的( )
A．中位数 B．平均数
C．众数 D．方差
【解析】选A.由中位数的概念，即最中间一个或两个数据的平均数；可知11人成绩的中位数是第6名的得分．根据题意可得：参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的得分以及全部得分的中位数，比较即可．
2．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．92，2 B．92，2.8
C．93，2 D．93，2.8
【解析】选B.去掉一个最高分95与一个最低分89后，所得的5个数分别为90，90，93，94，93，
所以 eq \x\t(x) ＝ eq \f(90＋90＋93＋94＋93,5) ＝92，
s2＝ eq \f(2×（90－92）2＋2×（93－92）2＋（94－92）2,5) ＝ eq \f(14,5) ＝2.8.
3．(教材练习改编)已知数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n(n≥3，n∈N*)个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn＋1，则这n＋1个数据中，下列说法正确的是( )
A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
【解析】选B.插入大的极端值，平均数增加，中位数可能不变，方差也因为数据更加分散而变大．
4．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为________．
【解析】因为这100人成绩的平均数
eq \x\t(x) ＝ eq \f(20×5＋10×4＋30×3＋30×2＋10×1,100) ＝ eq \f(100＋40＋90＋60＋10,100) ＝3，
所以这100人成绩的方差s2＝ eq \f(1,100) ×[20×22＋10×12＋30×02＋30×12＋10×22]＝ eq \f(160,100) ＝ eq \f(8,5) ，
所以标准差s＝ eq \f(2\r(10),5) .
答案： eq \f(2\r(10),5)
5．甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
【解析】(1)甲的平均数 eq \x\t(x) 甲＝ eq \f(1,6) (99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
乙的平均数 eq \x\t(x) 乙＝ eq \f(1,6) (99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(甲)) ＝ eq \f(1,6) [(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝ eq \f(7,3) ，
s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(乙)) ＝ eq \f(1,6) [(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，
又s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(甲)) ＞s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(乙)) ，所以乙机床加工零件的质量更稳定．
一、单选题
1．下列说法正确的是( )
A．在两组数据中，平均数较大的一组极差较大
B．平均数反映数据的集中趋势，方差反映数据波动的大小
C．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和
D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大说明射击水平稳定
【解析】选B.平均数表示一组数据的集中趋势，平均数的大小并不能说明该组数据极差的大小，所以A错误；方差公式s2＝，所以C错误；方差大说明射击水平不稳定，所以D错误．
2．已知数据x1，x2，…，xn的平均数为 eq \x\t(x) ，方差为s2，则2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的平均数和方差分别为( )
A． eq \x\t(x) 和s2 B．2 eq \x\t(x) ＋3和4s2
C．2 eq \x\t(x) ＋3和s2 D．2 eq \x\t(x) ＋3和4s2＋12s＋9
【解析】选B.因为数据x1，x2，…，xn的平均数为 eq \x\t(x) ，方差为s2，所以2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的平均数和方差分别为2 eq \x\t(x) ＋3和4s2.
3．现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的标准差是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选A.由s2＝ eq \f(1,n) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋…＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) )) － eq \x\t(x) 2，得s2＝ eq \f(1,10) ×100－32＝1，即标准差s＝1.
4．下列各组数中方差最小的是( )
A．1，2，3，4，5 B．2，2，2，4，5
C．3，3，3，3，3 D．2，3，2，3，2
【解析】选C.对于选项A：平均数为 eq \f(1,5) (1＋2＋3＋4＋5)＝3，方差为s2＝ eq \f(1,5) [(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2；对于选项B：平均数为 eq \f(1,5) (2＋2＋2＋4＋5)＝3，方差为s2＝ eq \f(1,5) [(2－3)2＋(2－3)2＋(2－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝1.6；
对于选项C：平均数为 eq \f(1,5) (3＋3＋3＋3＋3)＝3，方差为s2＝ eq \f(1,5) [(3－3)2＋(3－3)2＋(3－3)2＋(3－3)2＋(3－3)2]＝0；
对于选项D：平均数为 eq \f(1,5) (2＋3＋2＋3＋2)＝2.4；
方差为s2＝ eq \f(1,5) [(2－2.4)2＋(3－2.4)2＋(2－2.4)2＋(3－2.4)2＋(2－2.4)2]＝0.24.
因为0<0.24<1.6<2，所以选项C中的数据方差最小．
5．甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图所示，甲、乙两组数据的平均数分别为 eq \x\t(x) 甲， eq \x\t(x) 乙，标准差分别为s甲，s乙，则( )
A． eq \x\t(x) 甲< eq \x\t(x) 乙，s甲s乙
C． eq \x\t(x) 甲> eq \x\t(x) 乙，s甲 eq \x\t(x) 乙，s甲>s乙
【解析】选C.由题图知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学外，其他考试成绩都远高于乙同学，可知 eq \x\t(x) 甲> eq \x\t(x) 乙．题图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，所以s甲二、多选题
6．一组数据的平均数是 eq \x\t(x) ，标准差是s，将这组数据中的每个数据都乘以2，所得到的一组新数据的平均值和标准差分别是( )
A． eq \x\t(x) B．2 eq \x\t(x) C．s D．2s
【解析】选BD.设该组数据为x1，x2，…，xn，都乘以2后的新数据为2x1，2x2，…，2xn.
由题意知 eq \x\t(x) ＝ eq \f(x1＋x2＋…＋xn,n) ，则 eq \f(2x1＋2x2＋…＋2xn,n) ＝2 eq \x\t(x) .
又s＝ eq \r(\f(（x1－\x\t(x)）2＋（x2－\x\t(x)）2＋…＋（xn－\x\t(x)）2,n)) ，
所以 eq \r(\f(（2x1－2\x\t(x)）2＋（2x2－2\x\t(x)）2＋…＋（2xn－2\x\t(x)）2,n)) ＝2s.
7．如图为某市2020年国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断，则判断错误的为( )
A．日成交量的中位数是16
B．日成交量超过日平均成交量的有2天
C．10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅
D．日认购量的方差大于日成交量的方差
【解析】选ABC.7天假期的楼房认购量为：91，100，105，107，112，223，276；
成交量为：8，13，16，26，32，38，166.
对于A，日成交量的中位数是26，故A错误；
对于B，因为日平均成交量为 eq \f(8＋13＋16＋26＋32＋38＋166,7) ＝ eq \f(299,7) ，
日成交量超过日平均成交量的只有10月7日1天，故B错误；
对于C，10月7日认购量的增幅为 eq \f(276－112,112) ≈146%，10月7日成交量的增幅为 eq \f(166－38,38) ≈337%，即10月7日认购量的增幅小于10月7日成交量的增幅，故C错误；
对于D，因为日认购量的数据分布较分散些，方差大些，故D正确．
三、填空题
8．一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，x，5，10，其中x≠5，已知该组数据的中位数是众数的 eq \f(3,2) 倍，则该组数据的标准差为________．
【解析】由题意，可得该组数据的众数为2，所以 eq \f(2＋x,2) ＝ eq \f(3,2) ×2＝3，解得x＝4，
故该组数据的平均数为 eq \f(1＋2＋2＋4＋5＋10,6) ＝4.
所以该组数据的方差为 eq \f(1,6) ×[(1－4)2＋(2－4)2＋(2－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(10－4)2]＝9，即标准差为3.
答案：3
9．对一个做直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如表所示的数据．
上述统计数据的平均数是______，方差是______．
【解析】上述统计数据的平均数＝ eq \f(1,8) ×(40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋48)＝44，
方差＝ eq \f(1,8) ×[(40－44)2＋(41－44)2＋(43－44)2＋(43－44)2＋(44－44)2＋(46－44)2＋(47－44)2＋(48－44)2]＝7.
答案：44 7
四、解答题
10．某学校有高中学生500人，其中男生320人，女生180人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值(单位：cm)，计算得男生样本的平均数为173.5 cm，方差为17 cm2，女生样本的平均数为163.83 cm，方差为30.03 cm2.
(1)根据以上信息，能够计算出总样本的平均数和方差吗？为什么？
(2)如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的平均数和方差各为多少吗？
(3)如果已知男、女的样本量都是25，你能计算出总样本的平均数和方差各为多少吗？它们分别作为总体平均数和方差的估计合适吗？为什么？
【解析】(1)不能，因为本题没有给出男、女生的样本量，或者男、女生样本量的比例，故无法计算出总样本的平均数和方差．
(2)总样本的平均数为 eq \f(320,500) ×173.5＋ eq \f(180,500) ×163.83≈170.02(cm).
总样本的方差为 eq \f(320,500) ×[17＋(173.5－170.02)2]＋ eq \f(180,500) ×[30.03＋(163.83－170.02)2]≈43.24(cm2).
(3)总样本的平均数为 eq \f(25,50) ×173.5＋ eq \f(25,50) ×163.83≈168.67(cm).
总样本的方差为 eq \f(25,50) ×[17＋(173.5－168.67)2]＋ eq \f(25,50) ×
[30.03＋(163.83－168.67)2]≈46.89(cm2).
不能作为总体平均数和方差的估计，因为此分层抽样中，每个个体被抽到的可能性不完全相同，因而样本的代表性差．
11．某校高二年级在一次数学选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下：
求两人比赛成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳定性，从中选出一位参加数学竞赛．
【解析】设甲、乙两人成绩的平均数分别为 eq \x\t(x) 甲， eq \x\t(x) 乙，则 eq \x\t(x) 甲＝130＋ eq \f(1,6) (－3＋8＋0＋7＋5＋1)＝133， eq \x\t(x) 乙＝130＋ eq \f(1,6) (3－1＋8＋4－2＋6)＝133，s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(甲)) ＝ eq \f(1,6) [(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝ eq \f(47,3) ，s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(乙)) ＝ eq \f(1,6) [02＋(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝ eq \f(38,3) .因此，甲与乙的平均数相同，由于乙的方差较小，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，应该选乙参加竞赛比较合适．
一、选择题
1．已知一组数据x1，x2，x3的平均数是5，方差是4，则由2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，11这4个数据组成的新的一组数据的方差是( )
A．16 B．14 C．12 D．8
【解析】选C.由已知得x1＋x2＋x3＝15， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－5)) 2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－5)) 2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3－5)) 2＝12，
则新数据的平均数为 eq \f(1,4) (2x1＋1＋2x2＋1＋2x3＋1＋11) eq \f(2（x1＋x2＋x3）＋3＋11,4) ＝11，
所以方差为 eq \f(1,4) [(2x1＋1－11)2＋(2x2＋1－11)2＋(2x3＋1－11)2＋(11－11)2]＝ eq \f(1,4) [4(x1－5)2＋4(x2－5)2＋4(x3－5)2]＝(x1－5)2＋(x2－5)2＋(x3－5)2＝12.
2．已知样本数据为x1，x2，x3，x4，x5，该样本平均数为5，方差为2，现加入一个数5，得到新样本的平均数为 eq \x\t(x) ，方差为s2，则( )
A． eq \x\t(x) >5，s2>2 B． eq \x\t(x) ＝5，s2<2
C． eq \x\t(x) <5，s2<2 D． eq \x\t(x) ＝5，s2>2
【解析】选B.因为x1，x2，x3，x4，x5的平均数为5，方差为2，
则加入5后平均数为： eq \x\t(x) ＝ eq \f(1,6) ×(5×5＋5)＝5，
方差为：s2＝ eq \f(1,6) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(5×2＋（5－5）2)) ＝ eq \f(5,3) <2.
3．若某同学连续3次考试的名次(3次考试均没有出现并列名次的情况)不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是( )
A．甲同学：平均数为2，众数为1
B．乙同学：平均数为2，方差小于1
C．丙同学：中位数为2，众数为2
D．丁同学：众数为2，方差大于1
【解析】选B.甲同学：若平均数为2，众数为1，则有一次名次应为4，故排除A；乙同学：平均数为2，设乙同学3次考试的名次分别为x1，x2，x3，则方差s2＝ eq \f(1,3) [(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2]<1，则(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2<3，所以x1，x2，x3均不大于3，符合题意；丙同学：中位数为2，众数为2，有可能是2，2，4，不符合题意；丁同学：有可能是2，2，6，不符合题意．
4．(多选)如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为 eq \x\t(x) A和 eq \x\t(x) B，样本标准差分别为sA和sB，则( )
A． eq \x\t(x) A> eq \x\t(x) B B． eq \x\t(x) A< eq \x\t(x) B
C．sA>sB D．sA【解析】选BC. eq \x\t(x) A＝ eq \f(1,6) (2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10)＝6.25，
eq \x\t(x) B＝ eq \f(1,6) (15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10)＝ eq \f(35,3) ≈11.67.
s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(A)) ＝ eq \f(1,6) [(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2＋(5－6.25)2＋(7.5－6.25)2＋(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2]≈9.90，
s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(B)) ＝ eq \f(1,6) [(15－11.67)2＋(10－11.67)2＋(12.5－11.67)2＋(10－11.67)2＋(12.5－11.67)2＋(10－11.67)2]≈3.47.
故 eq \x\t(x) A＜ eq \x\t(x) B，sA＞sB.
二、填空题
5．有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2，4，4，5，5，6，7，8，9，11，a，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为________．
【解析】因为这组数据的平均数为 eq \f(1,11) (2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋a)＝ eq \f(1,11) (61＋a)＝6，
所以a＝5.方差s2＝ eq \f(42＋22＋22＋12＋12＋02＋12＋22＋32＋52＋12,11) ＝6.
答案：6
6．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数 eq \x\t(x) ＝2，方差s2＝ eq \f(1,3) ，那么另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数为________，方差为________．
【解析】平均数为 eq \x\t(x) ′＝3 eq \x\t(x) －2＝3×2－2＝4，方差为s′2＝9s2＝9× eq \f(1,3) ＝3.
答案：4 3
7．已知k1，k2，…，kn的方差为5，则3(k1－4)，3(k2－4)，…，3(kn－4)的方差为________．
【解析】设k1，k2，…，kn的平均数为 eq \x\t(k) ，则3(k1－4)，3(k2－4)，…，3(kn－4)的平均数为3( eq \x\t(k) －4)，
所以s2＝＝＝9×＝9×5＝45.
答案：45
8．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如表：
用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值 eq \x\t(x) ＝________，病人等待时间方差的估计值s2＝________．
【解析】 eq \x\t(x) ＝ eq \f(1,20) ×(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5(分钟)，s2＝ eq \f(1,20) ×[(2.5－9.5)2×4＋(7.5－9.5)2×8＋(12.5－9.5)2×5＋(17.5－9.5)2×2＋(22.5－9.5)2×1]＝28.5(分钟2).
答案：9.5分钟 28.5分钟2
三、解答题
9．某班40人随机分成两组，第1组15人，第2组25人，两组学生一次数学考试的成绩(单位：分)情况如表：
求全班学生这次数学考试的平均成绩和方差．
【解析】由题意，知第1组这次数学考试的平均分 eq \x\t(x) 1＝84(分)，方差s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝62＝36(分2)，
第2组这次数学考试的平均分 eq \x\t(x) 2＝80(分)，方差s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝42＝16(分2)，
故全班学生这次数学考试的平均成绩 eq \x\t(x) ＝ eq \f(15,40) ×84＋ eq \f(25,40) ×80＝81.5(分)，
方差s2＝ eq \f(15,40) ×[36＋(84－81.5)2]＋ eq \f(25,40) ×[16＋(80－81.5)2]＝27.25(分2).
10．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：
(1)填写下表：
(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析：
①结合平均数和方差分析偏离程度；
②结合平均数和中位数分析谁的成绩好些；
③结合平均数和命中9环以上的次数分析谁的成绩好些；
④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力．
【解析】(1)乙的打靶环数依次为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，所以 eq \x\t(x) 乙＝ eq \f(1,10) ×(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7；乙的打靶环数从小到大排列为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，所以中位数为 eq \f(7＋8,2) ＝7.5；甲的打靶环数从小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，所以中位数为7. 于是填充后的表格如表所示：
(2)①甲、乙的平均数相同，均为7，但s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(甲)) ＜s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(乙)) ，说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大．
②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，说明乙的打靶成绩比甲好．
③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次，可知乙的打靶成绩比甲好．
④从题干折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力．
11．为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在学校的学习基地现场进行加工直径为20 mm的零件测试，他俩各加工的10个零件直径的相关数据如图所示(单位：mm)：
A，B两位同学各加工的10个零件直径的平均数与方差如表：
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
(1)计算s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(B)) ，结合平均数与方差，说明谁的成绩好些；
(2)结合图中折线走势情况，你认为派谁去参赛较合适？请说明你的理由．
【解析】(1)s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(B)) ＝ eq \f(1,10) ×[5×(20－20)2＋3×(19.9－20)2＋(20.1－20)2＋(20.2－20)2]＝0.008，
所以s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(A)) >s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(B)) ，所以在平均数相同的情况下，B的波动较小，所以B的成绩好些．
(2)从题干图中折线趋势可知：
尽管A的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A的潜力大，所以派A去参赛较合适．分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
观测序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
观测数据ai
40
41
43
43
44
46
47
48
甲
127
138
130
137
135
131
乙
133
129
138
134
128
136
等待时间/分钟
[0，5)
[5，10)
[10，15)
[15，20)
[20，25]
频数
4
8
5
2
1
组别
平均分
标准差
第1组
84
6
第2组
80
4
平均数
方差
中位数
命中9环及以上
甲
7
1.2
1
乙
5.4
3
平均数
方差
中位数
命中9环及以上
甲
7
1.2
7
1
乙
7
5.4
7.5
3
平均数
方差
A
20
0.016
B
20
s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(B))