数学人教A版 (2019)10.1 随机事件与概率学案及答案

事件的关系和运算

在掷骰子试验中，定义如下事件：C1＝{出现1点}；C2＝{出现2点}；C3＝{出现3点}；C4＝{出现4点}；C5＝{出现5点}；C6＝{出现6点}；D1＝{出现的点数不大于1}；D2＝{出现的点数不大于3}；D3＝{出现的点数不大于5}；E＝{出现的点数小于5}；F＝{出现的点数大于4}；G＝{出现的点数为偶数}；H＝{出现的点数为奇数}．

[问题]　(1)在上述事件中，事件C1与事件C2的并事件是什么？

(2)事件D2与事件G及事件C2间有什么关系？

(3)事件C1与事件C2间有什么关系？

(4)事件E与事件F间有什么关系？

知识点　事件的关系和运算

1．包含关系

2.并事件(和事件)

3.交事件(积事件)

4.互斥(互不相容)

5．互为对立

互斥事件与对立事件的区别与联系

(1)区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生．

而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A∪B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则A∪B不一定是必然事件，即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个；

(2)联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立．　　　　

对于三个事件A，B，C至少有一个发生如何用符号表示？同时发生如何表示？

提示：至少有一个发生可表示为A∪B∪C(或A＋B＋C)；

同时发生可表示为A∩B∩C(或ABC)．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若A，B表示随机事件，则A∩B与A∪B也表示事件．(　　)

(2)若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．(　　)

(3)若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件．(　　)

(4)若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√

2．掷一枚质地均匀的骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是(　　)

A．A⊆B

B．A∩B＝{出现的点数为2}

C．事件A与B互斥

D．事件A与B是对立事件

解析：选B　由题意事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝{出现的点数为2}．

3．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　　)

A．至多有一次中靶　　　　　　 B．两次都中靶

C．只有一次中靶  D．两次都不中靶

解析：选D　事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况．由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥．

4．袋内红、白、黑球分别为3个、2个、1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是(　　)

A．至少有一个白球；红、黑球各1个

B．至少有一个白球；至少有一个红球

C．恰有一个白球；一个白球一个黑球

D．至少有一个白球；都是白球

解析：选A　至少有一个白球与红、黑球各1个是互斥事件但不是对立事件．

[例1]　(链接教科书第232页例6)盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球，1个白球”，事件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既有红球又有白球”．问：

(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？

(2)事件C与A的交事件是什么事件？

[解]　(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.

(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个均为红球，故C∩A＝A.

进行事件运算时应注意的问题

(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析；

(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．　　　　

[跟踪训练]

从一批100件的产品中每次取出一个(取后不放回)，假设100件产品中有5件是次品，用事件Ak表示第k次取到次品(k＝1，2，3)，试用A1，A2，A3表示下列事件：

(1)三次全取到次品；

(2)只有第一次取到次品；

(3)三次中恰有两次取到次品；

(4)三次中至多有一次取到次品．

解：(1)A1A2A3　(2)A1　(3)A1A2∪A1A3∪A2A3　(4)A1∪A3∪A2∪

[例2]　某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C 为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：

(1)A与C；(2)B与C；(3)B与D；(4)B与E；(5)A与E.

[解]　(1) 由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．

(2)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．

(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．

(4)由于事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件．

(5)事件A“只订甲报”与事件E“一种报纸也不订”不可能同时发生，故A与E是互斥事件．但A与E不是必有一个发生，比如“只订乙报”，故A与E不是对立事件．

辨析互斥事件与对立事件的思路

辨析互斥事件与对立事件，可以从以下几个方面入手：

(1)从发生的角度看：①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生；②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生．即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立．对立事件是互斥事件的一个特例．

(2)从事件个数的角度看：互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件．　　　　

[跟踪训练]

1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(　　)

A．两次都中靶　　　　　 B．至少有一次中靶

C．两次都不中靶  D．只有一次中靶

解析：选A　事件“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“两次都不中靶”，因此不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”．

2．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中任抽取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．

(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；

(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”．

解：(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件．

(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个

事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件．

(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出牌的点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．

事件关系的判断与集合形式表示

2019年4月23日，作为全国第三批启动高考综合改革试点的8个省市，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆相继发布了本省市高考综合改革实施方案，明确从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施．

根据公布的实施方案，8个省市将采用“3＋1＋2”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科．

[问题探究]

1．小李从物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，若记事件A为“小李物理必选”；事件B为“小李生物必选”，用集合表示这两个事件，并判断事件A与事件B是不是互斥事件，是不是对立事件．

提示：A＝{(物理，思想政治，地理)，(物理，思想政治，化学)，(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，化学)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)}，

B＝{(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，(历史，思想政治，生物)，(历史，地理，生物)，(历史，化学，生物)}．

则事件A，B中含有相同的样本点(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，

所以事件A与事件B不是互斥事件，也不是对立事件．

2．在第1题的条件下，用集合的形式表示事件A∪B和事件∩，并说明事件A∪B和事件∩的关系．

提示：由第1题可知，事件A∪B＝{(物理，思想政治，地理)，(物理，思想政治，化学)，(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，化学)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，(历史，思想政治，生物)，(历史，地理，生物)，(历史，化学，生物)}，

事件∩＝{(历史，思想政治，地理)，(历史，思想政治，化学)，(历史，地理，化学)}，

所以事件A∪B和事件∩既是互斥事件，也是对立事件．

 [迁移应用]

某市为了了解市民对卫生管理的满意程度，通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员共250人，结果如下表：

若y≥70，z≥2，基本事件用(y，z)表示，请写出该试验的样本空间，并指出样本点的个数．

解：∵学生人数为80，退休人员人数为90，

∴在职人员人数为250－80－90＝80，

∴y＋z＝80.

又∵y≥70，z≥2，∴样本空间Ω＝{(70，10)，(71，9)，(72，8)，(73，7)，(74，6)，(75，5)，(76，4)，(77，3)，(78，2)}，样本点的个数为9.

1．若干人站成一排，其中为互斥事件的是(　　)

A．“甲站排头”与“乙站排头”

B．“甲站排头”与“乙站排尾”

C．“甲站排头”与“乙不站排头”

D．“甲不站排头”与“乙不站排头”

解析：选A　根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B、C、D中两事件能同时发生，故不是互斥事件．

2．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为偶数}，F＝{向上的点数为质数}，则E∩F＝______．

解析：E＝{向上的点数为偶数}＝{2，4，6}，

F＝{向上的点数为质数}＝{2，3，5}，

∴E∩F＝{向上的点数为2}．

答案：{向上的点数为2}

3．从某大学数学系图书室中任选一本书．设A＝{数学书}；B＝{中文版的书}；C＝{2020年后出版的书}．问：

(1)A∩B∩表示什么事件？

(2)在什么条件下有A∩B∩C＝A?

(3)⊆B表示什么意思？

(4)如果＝B，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？

解：(1)A∩B∩＝{2020年或2020年前出版的中文版的数学书}．

(2)在“图书室中所有数学书都是2020年后出版的且为中文版”的条件下才有A∩B∩C＝A.

(3)⊆B表示2020年或2020年前出版的书全是中文版的．

(4)是.＝B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书．同时＝B又可等价成＝A，因而也可解释为：图书室中所有数学书都不是中文版的，而且所有外文版的书都是数学书．