2020-2021学年7.2 复数的四则运算巩固练习

这是一份2020-2021学年7.2 复数的四则运算巩固练习，共4页。

1．若复数a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点在实轴的上方，则( )
A．a＞0且b＞0 B．a∈R且b＞0
C．a≥0且b＞0 D．a∈R且b＜0
解析：选B 复数a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点在实轴的上方，则复数的实部a∈R，虚部b＞0.故选B.
2．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是( )
A．z1＞z2 B．z1＜z2
C．|z1|＞|z2| D．|z1|＜|z2|
解析：选D |z1|＝|5＋3i|＝eq \r(52＋32)＝eq \r(34)，|z2|＝|5＋4i|＝eq \r(52＋42)＝eq \r(41).∵eq \r(34)＜eq \r(41)，∴|z1|＜|z2|.
3．在复平面内，O为坐标原点，向量eq \(OA,\s\up6(―→))对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量eq \(OB,\s\up6(―→))对应的复数为( )
A．－2－i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
解析：选B 因为复数－1＋2i对应的点为A(－1，2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2，1)，所以eq \(OB,\s\up6(―→))对应的复数为－2＋i.
4．(多选)设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是( )
A．|z|＝eq \r(5)
B．复数z在复平面内对应的点在第四象限
C．z的共轭复数为－1＋2i
D．复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上
解析：选AC |z|＝eq \r(（－1）2＋（－2）2)＝eq \r(5)，A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B不正确；z的共轭复数为－1＋2i，C正确；复数z在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y＝－2x上，D不正确．故选A、C.
5．已知复数z＝a＋eq \r(3)i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于( )
A．－1＋eq \r(3)i B．1＋eq \r(3)i
C．－1＋eq \r(3)i或1＋eq \r(3)i D．－2＋eq \r(3)i
解析：选A 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＋3＝4，,a<0，))解得a＝－1.故z＝－1＋eq \r(3)i.故选A.
6．若复数z1＝1－i，z2＝3－5i，则复平面上与z1，z2对应的点Z1与Z2的距离为________．
解析：z1＝1－i对应的点为(1，－1)，z2＝3－5i对应的点为(3，－5)，由两点间距离公式得|z1z2|＝eq \r(（3－1）2＋（－5＋1）2)＝2eq \r(5).
答案：2eq \r(5)
7．i是虚数单位，设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则xy＝________，|x＋yi|＝________．
解析：由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi，∴x＝y＝1，
∴xy＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝eq \r(2).
答案：1 eq \r(2)
8．若复数z在复平面内对应的点在第二象限，|z|＝5，eq \(z,\s\up6(－))在复平面内对应的点在函数y＝eq \f(4,3)x的图象上，则z＝________．
解析：由题意设eq \(z,\s\up6(－))＝3t＋4ti(t∈R)，则z＝3t－4ti.∵|z|＝5，∴9t2＋16t2＝25，∴t2＝1.又z在复平面内对应的点在第二象限，∴t＜0，∴t＝－1，∴z＝－3＋4i.
答案：－3＋4i
9．在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数．
解：记O为复平面的原点，由题意得eq \(OA,\s\up6(―→))＝(2，3)，eq \(OB,\s\up6(―→))＝(3，2)，eq \(OC,\s\up6(―→))＝(－2，－3)．
设eq \(OD,\s\up6(―→))＝(x，y)，则eq \(AD,\s\up6(―→))＝(x－2，y－3)，eq \(BC,\s\up6(―→))＝(－5，－5)．
由题知，eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \(BC,\s\up6(―→))，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2＝－5，,y－3＝－5，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－2，))
故点D对应的复数为－3－2i.
10．已知复数z1＝cs θ＋isin 2θ，z2＝eq \r(3)sin θ＋ics θ，求当θ满足什么条件时，
(1)z1，z2是共轭复数；
(2)|z2|解：(1)在复平面内，z1与z2是共轭复数，对应的点关于实轴对称，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs θ＝\r(3)sin θ，,sin 2θ＝－cs θ，))
⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(θ＝kπ＋\f(π,6)，,θ＝2kπ＋\f(7π,6)或2kπ＋\f(11π,6)或kπ＋\f(π,2)，))(k∈Z)，
所以θ＝2kπ＋eq \f(7π,6)(k∈Z)．
(2)由|z2|即3sin2 θ＋cs2 θ<2，
所以sin2 θ[B级 综合运用]
11．(多选)设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中不正确的是( )
A．z在复平面内对应的点在第一象限
B．z一定不是纯虚数
C．z在复平面内对应的点在实轴上方
D．z一定是实数
解析：选ABD ∵2t2＋5t－3的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，∴A、B、D中结论皆错误，C中结论正确．故选A、B、D.
12．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的集合是( )
A．1个圆 B．线段
C．2个点 D．2个圆
解析：选A 由题意知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1.
∵|z|≥0，∴|z|＝3，
∴复数z对应点的集合是以坐标原点为圆心，3为半径的圆．
13．若复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应点Z，则|z|＝eq \r(2)时，a＝________，此时Z与点(1，2)的距离是________．
解析：∵|z|＝eq \r(a2＋1)＝eq \r(2)，∴a＝±1.
∴z＝1＋i或－1＋i.
当z＝1＋i时，Z为(1，1)，两点间距离为eq \r(（1－1）2＋（2－1）2)＝1；
当z＝－1＋i时，Z为(－1，1)，两点间的距离为eq \r(（－1－1）2＋（1－2）2)＝eq \r(5).
答案：±1 1或eq \r(5)
14．已知复数z1＝eq \r(3)－i，z2＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i.
(1)求|eq \(z1,\s\up6(－))|，|eq \(z2,\s\up6(－))|的值并比较大小；
(2)设z∈C，且z在复平面内对应的点为Z，则满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z组成的集合是什么图形？并作图表示．
解：(1)|eq \(z1,\s\up6(－))|＝|eq \r(3)＋i|＝ eq \r(（\r(3)）2＋12)＝2，
|eq \(z2,\s\up6(－))|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝1.
所以|eq \(z1,\s\up6(－))|＞|eq \(z2,\s\up6(－))|.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2.
不等式1≤|z|≤2等价于不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|z|≤2，,|z|≥1.))
因为满足|z|≤2的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆及其内部(包括边界)，
而满足|z|≥1的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为1的圆的外部(包括边界)，
所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环(包括边界)，如图中阴影部分所示．
[C级 拓展探究]
15．已知x为实数，复数z＝x－2＋(x＋2)i.
(1)当x为何值时，复数z的模最小？
(2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn＞0，求eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值及取得最小值时m，n的值．
解：(1)|z|＝eq \r(（x－2）2＋（x＋2）2)＝eq \r(2x2＋8)≥2eq \r(2)，
当且仅当x＝0时，复数z的模最小，为2eq \r(2).
(2)当复数z的模最小时，Z(－2，2)．
又点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2.
又mn＞0，所以eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(n,2)))＝eq \f(3,2)＋eq \f(m,n)＋eq \f(n,2m)≥eq \f(3,2)＋eq \r(2)，当且仅当n2＝2m2时等号成立．
又2m＋n＝2，所以m＝2－eq \r(2)，n＝2eq \r(2)－2.
所以eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值为eq \f(3,2)＋eq \r(2)，此时m＝2－eq \r(2)，n＝2eq \r(2)－2.