人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念达标测试

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念达标测试，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C [z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限． ]
2．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是( )
A．z1＞z2 B．z1＜z2
C．|z1|＞|z2| D．|z1|＜|z2|
D [z1，z2不能比较大小，排除选项A，B，又|z1|＝eq \r(52＋32)，|z2|＝eq \r(52＋42)，故|z1|＜|z2|．]
3．已知平行四边形OABC，O，A，C三点对应的复数分别为0,1＋2i,3－2i，则eq \(AB,\s\up7(→))的模|eq \(AB,\s\up7(→))|等于( )
A．eq \r(5) B．2eq \r(5)
C．4 D．eq \r(13)
D [由于OABC是平行四边形，故eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(OC,\s\up7(→))，因此|eq \(AB,\s\up7(→))|＝|eq \(OC,\s\up7(→))|＝|3－2i|＝eq \r(13)．]
4．当eq \f(2,3)＜m＜1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [∵eq \f(2,3)0，m－1<0，∴点(3m－2，m－1)在第四象限．]
5．如果复数z满足条件z＋|z|＝2＋i，那么z＝( )
A．－eq \f(3,4)＋i B．eq \f(3,4)－i
C．－eq \f(3,4)－i D．eq \f(3,4)＋i
D [设z＝a＋bi(a，b∈R)，由复数相等的充要条件，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋\r(a2＋b2)＝2，,b＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(3,4)，,b＝1，))
即z＝eq \f(3,4)＋i．]
二、填空题
6．若复数z＝(m2－9)＋(m2＋2m－3)i是纯虚数，其中m∈R，则|z|＝________．
12 [由条件，知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋2m－3≠0，,m2－9＝0，))
所以m＝3，
因此z＝12i，故|z|＝12．]
7．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．
(3，＋∞) [∵复数z在复平面内对应的点位于第四象限，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＞0，,3－x＜0.))解得x＞3．]
8．设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，则复数z＝________．
±i [因为z为纯虚数，
所以设z＝ai(a∈R，且a≠0)，
则|z－1|＝|ai－1|＝eq \r(a2＋1)．
又因为|－1＋i|＝eq \r(2)，
所以eq \r(a2＋1)＝eq \r(2)，即a2＝1，
所以a＝±1，即z＝±i．]
三、解答题
9．已知复数z1＝eq \r(3)－i，z2＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i．
(1)求|eq \x\t(z1)|，|eq \x\t(z2)|的值并比较大小．
(2)设z∈C，且z在复平面内对应的点为Z，则满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z组成的集合是什么图形？并作图表示．
[解] (1)|eq \x\t(z1)|＝|eq \r(3)＋i|＝eq \r(\r(3)2＋12)＝2，
|eq \x\t(z2)|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2))＝1．
所以|eq \x\t(z1)|＞|eq \x\t(z2)|．
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2．
不等式1≤|z|≤2等价于不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|z|≤2,|z|≥1))．
因为满足|z|≤2的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆及其内部(包括边界)，
而满足|z|≥1的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为1的圆的外部(包括边界)，
所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环(包括边界)，如图中阴影部分所示．
10．已知复数z1＝cs θ＋isin 2θ，z2＝eq \r(3)sin θ＋ics θ，求当θ满足什么条件时，
(1)z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称；
(2)|z2|＜eq \r(2)．
[解] (1)在复平面内，z1与z2对应的点关于实轴对称，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs θ＝\r(3)sin θ,sin 2θ＝－cs θ))⇒
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(θ＝kπ＋\f(π,6),θ＝2kπ＋\f(7,6)π或2kπ＋\f(11,6)π或kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，
所以θ＝2kπ＋eq \f(7,6)π(k∈Z)．
(2)由|z2|＜eq \r(2)，得eq \r(\r(3)sin θ2＋cs2 θ)＜eq \r(2)，
即3sin2θ＋cs2θ＜2，所以sin2θ＜eq \f(1,2)，
所以kπ－eq \f(π,4)＜θ＜kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)．
1．(多选题)设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是( )
A．|z|＝eq \r(5)
B．复数z在复平面内对应的点在第四象限
C．z的共轭复数为－1＋2i
D．复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上
AC [|z|＝eq \r(－12＋－22)＝eq \r(5)，A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B不正确；z的共轭复数为－1＋2i，C正确；复数z在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y＝－2x上，D不正确．故选AC．]
2．已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为( )
A．1 B．2 C．eq \r(5) D．3
D [∵|z|＝2，∴复数z对应的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，而|z－i|表示圆上一点到点(0,1)的距离，
∴|z－i|的最大值为圆上点(0，－2)到点(0,1)的距离，易知此距离为3，故选D．]
3．已知复数z＝lg(m2＋2m－14)＋(m2－m－6)i(i为虚数单位)，若复数z是实数，则实数m＝______；若复数z对应的点位于复平面的第二象限，则实数m的取值范围为________．
3 (－5，－1－eq \r(15)) [若复数z是实数，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－m－6＝0，,m2＋2m－14＞0，))解得m＝3．
若复数z对应的点位于复平面的第二象限，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lgm2＋2m－14＜0，,m2－m－6＞0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜m2＋2m－14＜1，,m2－m－6＞0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋2m－14＞0，,m2＋2m－15＜0，,m2－m－6＞0，))
解得－5＜m＜－1－eq \r(15)．]
4．已知复数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为eq \r(3)，则eq \f(y,x)的最大值为________．
eq \r(3) [∵|x－2＋yi|＝eq \r(3)，
∴(x－2)2＋y2＝3，故(x，y)在以C(2,0)为圆心，eq \r(3)为半径的圆上，eq \f(y,x)表示圆上的点(x，y)与原点连线的斜率．
如图，由平面几何知识，易知eq \f(y,x)的最大值为eq \r(3)．]
已知x为实数，复数z＝x－2＋(x＋2)i．
(1)当x为何值时，复数z的模最小？
(2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn＞0，求eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值及取得最小值时m，n的值．
[解] (1)|z|＝eq \r(x－22＋x＋22)＝eq \r(2x2＋8)≥2eq \r(2)，
当且仅当x＝0时，复数z的模最小，为2eq \r(2)．
(2)当复数z的模最小时，Z(－2,2)．
又点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2．
又mn＞0，所以eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(n,2)))＝eq \f(3,2)＋eq \f(m,n)＋eq \f(n,2m)≥eq \f(3,2)＋eq \r(2)，当且仅当n2＝2m2时等号成立．
又2m＋n＝2，所以m＝2－eq \r(2)，n＝2eq \r(2)－2．
所以eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值为eq \f(3,2)＋eq \r(2)，此时m＝2－eq \r(2)，n＝2eq \r(2)－2.