高中数学第七章 复数7.1 复数的概念随堂练习题

这是一份高中数学第七章 复数7.1 复数的概念随堂练习题，共4页。

1．复数z＝eq \f(1,a－1)＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为( )
A．1或－1 B．1
C．－1 D．0或－1
解析：选C 因为复数z＝eq \f(1,a－1)＋(a2－1)i是实数，且a为实数，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－1＝0，,a－1≠0，))解得a＝－1.故选C.
2．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( )
A．－2 B．eq \f(2,3)
C．－eq \f(2,3) D．2
解析：选D 复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，即b＝2.故选D.
3．设C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，全集U＝C，则下面结论正确的是( )
A．A∪B＝C B．∁UA＝B
C．A∩(∁UB)＝∅ D．B∪(∁UB)＝C
解析：选D 由复数的分类可知D项正确．
4．已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，a∈R，若z1＝z2，则a＝( )
A．2 B．3
C．－3 D．9
解析：选B 因为z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，且z1＝z2，所以有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3，,a2－7＝2，))解得a＝3.故选B.
5．以3i－eq \r(2)的虚部为实部，以3i2＋eq \r(2)i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i B．3＋i
C．－eq \r(2)＋eq \r(2)i D．eq \r(2)＋eq \r(2)i
解析：选A 3i－eq \r(2)的虚部为3，3i2＋eq \r(2)i＝－3＋eq \r(2)i的实部为－3，故选A.
6．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为________．
解析：易知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4－3a＝a2，,－a2＝4a，))解得a＝－4.
答案：－4
7．已知a，b∈R，i为虚数单位，复数z＝a＋bi与4－b2＋(4b－8)i均是纯虚数，则z＝________．
解析：由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0，,b≠0))且eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4－b2＝0，,4b－8≠0，))
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝－2.))∴z＝－2i.
答案：－2i
8．若复数m－3＋(m2－9)i≥0，则实数m的值为________．
解析：依题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－3≥0，,m2－9＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≥3，,m＝－3或3，))
即m＝3.
答案：3
9．分别求满足下列条件的实数x，y的值：
(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；
(2)eq \f(x2－x－6,x＋1)＋(x2－2x－3)i＝0.
解：(1)∵x，y∈R，∴由复数相等的定义得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－1＝x－y，,y＋1＝－x－y，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－2.))
(2)∵x∈R，∴由复数相等的定义得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2－x－6,x＋1)＝0，,x2－2x－3＝0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3或－2，且x≠－1，,x＝3或－1，))∴x＝3.
10．设z＝lgeq \s\d9(\f(1,2))(m－1)＋ilg2(5－m)(m∈R)．
(1)若z是虚数，求m的取值范围；
(2)若z是纯虚数，求m的值．
解：(1)因为z是虚数，所以其虚部lg2(5－m)≠0，
m应满足的条件是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－1>0，,5－m>0，,5－m≠1，))解得1(2)因为z是纯虚数，所以其实部lgeq \s\d9(\f(1,2))(m－1)＝0，虚部lg2(5－m)≠0，
m应满足的条件是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－1＝1，,5－m>0，,5－m≠1，))解得m＝2.
[B级 综合运用]
11．(多选)已知i为虚数单位，下列命题中正确的是( )
A．若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1
B．(a2＋1)i(a∈R)是纯虚数
C．－1没有平方根
D．当m＝4时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数
解析：选BD 取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故A错误；∀a∈R，a2＋1>0恒成立，所以(a2＋1)i是纯虚数，故B正确；－1的平方根为±i，故C错误；复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg（m2－2m－7）＝0，,m2＋5m＋6≠0，))解得m＝4，故D正确．故选B、D.
12．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
解析：选B 由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即n2＋mn＋2ni＝－2－2i.
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n2＋mn＝－2，,2n＝－2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝3，,n＝－1.))所以z＝3－i.
13．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1为纯虚数，则a＝________．若z1>z2，则a的取值集合为________．
解析：由z1为纯虚数，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－4a＋1＝0，,2a2＋3a≠0.))∴a＝eq \f(1,4).
由z1>z2，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a2＋3a＝0，,a2＋a＝0，,－4a＋1>2a，))解得a＝0.
答案：eq \f(1,4) 0
14．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
解：∵M∪P＝P，∴M⊆P，
∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－2m＝－1，,m2＋m－2＝0，))解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－2m＝0，,m2＋m－2＝4，))解得m＝2.
综上可知m＝1或2.
[C级 拓展探究]
15．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cs θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)．
(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围．
解：(1)∵z1为纯虚数，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4－m2＝0，,m－2≠0，))解得m＝－2.
(2)由z1＝z2，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4－m2＝λ＋2sin θ，,m－2＝cs θ－2，))
∴λ＝4－cs2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3＝(sin θ－1)2＋2.
∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin＝2；
当sin θ＝－1时，λmax＝6.
∴实数λ的取值范围是[2，6]．