人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算课时作业

7.1.2　复数的几何意义

课后·训练提升

基础巩固

1.当<m<1时,复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析复数z在复平面内对应点Z(3m-2,m-1).

由<m<1,得3m-2>0,m-1<0.故点Z位于第四象限.故选D.

答案D

2.已知x+xi=1+yi(x,y∈R),则|x+yi|=(　　)

A.1 B. C. D.2

解析∵x+xi=1+yi(x,y∈R),∴即x=y=1.

∴|x+yi|=.故选B.

答案B

3.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1+2i.若点A关于直线y=-x的对称点为点B,则向量对应的复数为(　　)

A.-2-i B.-2+i

C.1+2i D.-1+2i

解析∵向量对应的复数为-1+2i,

∴A(-1,2),又点A关于直线y=-x的对称点为点B,∴B(-2,1),

∴向量对应的复数为-2+i.

答案B

4.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z在复平面内对应的点Z的集合是(　　)

A.一个圆 B.一条线段 C.两个点 D.两个圆

解析由题意可知(|z|-3)(|z|+1)=0.

∵|z|≥0,∴|z|=3.∴复数z在复平面内对应的点Z的集合是一个圆.

答案A

5.已知复数z=(cos θ+sinθ)+(sin θ-cos θ)i,若θ∈,则在复平面内所对应的点在(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析由题意可知=(cosθ+sinθ)-(sinθ-cosθ)i,

∵θ∈,∴cosθ+sinθ<0,sinθ-cosθ>0,

∴在复平面内所对应的点在第三象限.

答案C

6.已知复数z=1+i,则||=　　　　. 

解析||=|z|=.

答案

7.若复数z=5cos α-4i(-π<α<0)在复平面内对应的点在直线y=x-1上,则sin α=　　　　　,tan α=　　　　　. 

答案-

8.在复平面内,O为坐标原点,向量对应的复数为3-4i.若点B关于原点的对称点为点A,点A关于虚轴的对称点为点C,则向量对应的复数为　　　　　. 

解析由题意,可知点B的坐标为(3,-4),则点A的坐标为(-3,4),点C的坐标为(3,4),故向量对应的复数为3+4i.

答案3+4i

9.当实数m取何值时,复数z=(m2-4m)+(m2-m-6)i在复平面内对应的点分别满足下列条件?

(1)在第三象限;(2)在虚轴上;(3)在直线y=x+3上.

解复数z=(m2-4m)+(m2-m-6)i在复平面内对应的点Z的坐标为(m2-4m,m2-m-6).

(1)∵点Z在第三象限,∴

解得0<m<3.

(2)∵点Z在虚轴上,

∴m2-4m=0,解得m=0或m=4.

(3)∵点Z在直线y=x+3上,

∴m2-m-6=m2-4m+3,解得m=3.

10.已知复数z在复平面内对应的点在直线y=x上,且|z|=3,求复数z.

解设z=a+bi(a,b∈R).

由题意,可知

解得

故z=6+3i或z=-6-3i.

能力提升

1.已知在复平面内复数z1=2-ai(a∈R)对应的点在直线y=x+上,则复数z2=a+2i对应的点在(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析在复平面内复数z1=2-ai对应的点的坐标为(2,-a).由题意,可知-a==2,即a=-2.故在复平面内z2=-2+2i对应的点在第二象限.故选B.

答案B

2.对于下列四个结论:

①任何复数的模都是正数;

②如果复数z1=i,z2=i,z3=-i,z4=2-i,那么这些复数的对应点共圆;

③|cos θ+isinθ|的最大值为,最小值为0;

④在复平面内,x轴是实轴,y轴是虚轴.

其中正确的有(　　)

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

解析当z=0时,|z|=0,故①错误;因为|z1|=,|z2|=,|z3|=,|z4|=,所以这些复数的对应点均在以原点为圆心,为半径的圆上,故②正确;|cosθ+isinθ|==1,为定值,故③错误;④正确.

答案C

3.定义复数的一种运算z1*z2=.若复数z=a+bi,且正实数a,b满足a+b=3,则z*的最小值为 (　　)

A. B. C. D.

解析z*,

∵a+b=3,a>0,b>0,∴ab≤,

当且仅当a=b=时,等号成立.

∴z*.

答案B

4.已知复数(sin θ-1)+(sin θ-cos θ)i(θ∈R)在复平面内对应的点在直线y=-x-1上,则tan θ的值为　　　. 

解析由题意,可知sinθ-cosθ=-(sinθ-1)-1,即2sinθ=cosθ,故tanθ=.

答案

5.设z∈C,在复平面内z对应的点为Z,则满足条件2≤|z|≤4的点Z的集合对应的图形的面积为　　　. 

解析满足条件2≤|z|≤4的点Z的集合对应的图形的面积是以原点O为圆心,以2及4为半径的两个圆所夹的圆环(包括边界)的面积,故所求面积为π×42-π×22=12π.

答案12π

6.已知x,y∈R,若x2+2x+(2y+x)i和3x-(y+1)i互为共轭复数,求复数z=x+yi和.

解由已知得解得

所以z=i或z=1.

所以当z=i时,=-i;

当z=1时,=1.

7.已知复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.

解如图,设复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i在复平面内所对应的点分别为A,B,C,正方形的第四个顶点D(x,y)对应的复数为z=x+yi(x,y∈R),则A(1,2),B(-2,1),C(-1,-2).

∴=(x-1,y-2),=(1,-3).

∵四边形ABCD为正方形,

∴.

∴解得

∴点D对应的复数为z=2-i.