高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算课时训练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算课时训练，共5页。

1．复数z1＝2－eq \f(1,2)i，z2＝eq \f(1,2)－2i，则z1＋z2等于( )
A.0 B.eq \f(3,2)＋eq \f(5,2)i
C.eq \f(5,2)－eq \f(5,2)i D.eq \f(5,2)－eq \f(3,2)i
解析：选C z1＋z2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(1,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋2))i＝eq \f(5,2)－eq \f(5,2)i.
2．已知复数z满足z＋2i－5＝7－i，则|z|＝( )
A．12 B．3
C．3eq \r(17) D．9
解析：选C 由题意知z＝7－i－(2i－5)＝12－3i，∴|z|＝ eq \r(122＋（－3）2)＝3eq \r(17).故选C.
3．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是( )
解析：选A 由图可知，z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1，1)．故选A.
4．(多选)若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则( )
A．z的实部是－2 B．z的虚部是4
C．|z|＝2 D.eq \(z,\s\up6(－))＝－2－4i
解析：选ABD z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，则z的实部是－2，虚部是4，|z|＝2eq \r(5)，eq \(z,\s\up6(－))＝－2－4i.故选A、B、D.
5．已知i为虚数单位，在复平面内，复数z1对应的点的坐标为(2，－3)，复数z2＝－1＋2i，若复数z＝z1＋z2，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D 因为复数z1对应的点的坐标为(2，－3)，所以z1＝2－3i.又因为复数z＝z1＋z2，z2＝－1＋2i，所以z＝2－3i＋(－1＋2i)＝1－i.所以复数z对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限．故选D.
6．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________．
解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝ eq \r(32＋42)＝5.
答案：5
7．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量eq \(OA,\s\up6(―→))和eq \(OB,\s\up6(―→))，其中O为坐标原点，则|eq \(AB,\s\up6(―→))|＝________．
解析：由题意eq \(AB,\s\up6(―→))＝eq \(OB,\s\up6(―→))－eq \(OA,\s\up6(―→))，∴eq \(AB,\s\up6(―→))对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，∴|eq \(AB,\s\up6(―→))|＝2.
答案：2
8．设f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，则f(z1＋z2)＝________．
解析：z1＋z2＝3＋3i，f(z1＋z2)＝f(3＋3i)＝3＋|3＋3i|＝3＋3eq \r(2).
答案：3＋3eq \r(2)
9．已知i为虚数单位，计算：
(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
解：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.
10．设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝eq \r(2)，求|z1－z2|.
解：法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2.
又(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，
∴2ac＋2bd＝0.
∴|z1－z2|2＝|(a－c)＋(b－d)i|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，
∴|z1－z2|＝eq \r(2).
法二：∵|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)，
即(eq \r(2))2＋|z1－z2|2＝2×(12＋12)，∴|z1－z2|2＝2，∴|z1－z2|＝eq \r(2).
[B级 综合运用]
11．(多选)给出下列命题，其中是真命题的是( )
A．纯虚数z的共轭复数是－z
B．若z1－z2＝0，则z1＝eq \(z,\s\up6(－))2
C．若z1＋z2∈R，则z1与z2互为共轭复数
D．若z1－z2＝0，则z1与eq \(z,\s\up6(－))2互为共轭复数
解析：选AD A．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B.若z1－z2＝0，则z1＝z2，当z1，z2均为实数时，则有z1＝eq \(z,\s\up6(－))2，当z1，z2是虚数时，z1≠eq \(z,\s\up6(－))2，所以B是假命题；C.若z1＋z2∈R，则z1，z2可能均为实数，但不一定相等，或z1与z2的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C是假命题；D.若z1－z2＝0，则z1＝z2，所以z1与eq \(z,\s\up6(－))2互为共轭复数，故D是真命题．
12．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．若z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝________，z2＝________．
解析：z＝z1－z2＝[(3x＋y)＋(y－4x)i]－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又z＝13－2i，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5x－3y＝13，,x＋4y＝－2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1.))
所以z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝(－4－2×2)－(5×2－3×1)i＝－8－7i.
答案：5－9i －8－7i
13．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________．
解析：由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2，0)与到(－2，0)距离相等的点，即虚轴．|z－1|表示z对应的点与(1，0)的距离．∴|z－1|min＝1.
答案：1
14．在复平面内，A，B，C三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i.
(1)求eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(AC,\s\up6(―→))，eq \(BC,\s\up6(―→))对应的复数；
(2)判断△ABC的形状．
解：(1)∵A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i，
∴eq \(OA,\s\up6(―→))，eq \(OB,\s\up6(―→))，eq \(OC,\s\up6(―→))对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i(O为坐标原点)，
∴eq \(OA,\s\up6(―→))＝(1，0)，eq \(OB,\s\up6(―→))＝(2，1)，eq \(OC,\s\up6(―→))＝(－1，2)．
∴eq \(AB,\s\up6(―→))＝eq \(OB,\s\up6(―→))－eq \(OA,\s\up6(―→))＝(1，1)，eq \(AC,\s\up6(―→))＝eq \(OC,\s\up6(―→))－eq \(OA,\s\up6(―→))＝(－2，2)，
eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \(OC,\s\up6(―→))－eq \(OB,\s\up6(―→))＝(－3，1)．
即eq \(AB,\s\up6(―→))对应的复数为1＋i，eq \(AC,\s\up6(―→))对应的复数为－2＋2i，eq \(BC,\s\up6(―→))对应的复数为－3＋i.
(2)∵|eq \(AB,\s\up6(―→))|＝eq \r(1＋1)＝eq \r(2)，|eq \(AC,\s\up6(―→))|＝eq \r(（－2）2＋22)＝2eq \r(2)，
|eq \(BC,\s\up6(―→))|＝eq \r(（－3）2＋1)＝eq \r(10)，
∴|eq \(AB,\s\up6(―→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(―→))|2＝10＝|eq \(BC,\s\up6(―→))|2.
又∵|eq \(AB,\s\up6(―→))|≠|eq \(AC,\s\up6(―→))|，
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形．
[C级 拓展探究]
15．已知复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2＋i，向量eq \(BA,\s\up6(―→))对应的复数为1＋2i，向量eq \(BC,\s\up6(―→))对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
解：(1)∵向量eq \(BA,\s\up6(―→))对应的复数为1＋2i，向量eq \(BC,\s\up6(―→))对应的复数为3－i，
∴向量eq \(AC,\s\up6(―→))对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又∵eq \(OC,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(AC,\s\up6(―→))，
∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
∵eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \(BC,\s\up6(―→))，
∴向量eq \(AD,\s\up6(―→))对应的复数为3－i，
即eq \(AD,\s\up6(―→))＝(3，－1)．设D(x，y)，
则eq \(AD,\s\up6(―→))＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2＝3，,y－1＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝0.))
∴点D对应的复数为5.
(2)∵eq \(BA,\s\up6(―→))·eq \(BC,\s\up6(―→))＝|eq \(BA,\s\up6(―→))||eq \(BC,\s\up6(―→))|cs B，
∴cs B＝eq \f(\(BA,\s\up6(―→))·\(BC,\s\up6(―→)),|\(BA,\s\up6(―→))||\(BC,\s\up6(―→))|)＝eq \f(3－2,\r(5)×\r(10))＝eq \f(\r(2),10).
∵0∴S四边形ABCD＝|eq \(BA,\s\up6(―→))||eq \(BC,\s\up6(―→))|sin B＝eq \r(5)×eq \r(10)×eq \f(7\r(2),10)＝7.
∴平行四边形ABCD的面积为7.