初中数学北师大版八年级上册7 二次根式学案

二次根式的乘除运算—知识讲解（提高）

【学习目标】

1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.

2.能运用二次根式的有关性质进行分母有理化.

【要点梳理】

要点一、二次根式的乘法
1.乘法法则：

（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.
要点诠释：
(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).
(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：

≥0，≥0，…..≥0）.

(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.

要点二、二次根式的除法
1.除法法则：

（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.
要点诠释：
(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0.
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
要点三、分母有理化

1.分母有理化

把分母中的二次根式化去叫做分母有理化.

2.有理化因式

  两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下：

   ①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式.

②两项二次根式：利用平方差公式来确定.如与，，分别互为有理化因式.

要点诠释：

   分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；  ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式.

【典型例题】

类型一、二次根式的乘除运算

1.（1）      （2）

【答案与解析】

（1）原式=

       =

(2)原式=

【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简.

举一反三

【变式】

【答案】原式=

=

2. （2020春•潮南区月考）化简：4x2．

【思路点拨】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．

【答案与解析】

解：4x2

=4x2÷12×3

=x2

=xy．

【总结升华】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．

举一反三：

【变式】已知，且x为偶数，求(1+x)的值．

【答案】由题意得，即
∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8
∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=
∴当x=8时，原式的值==6．

类型二、分母有理化

3. 把下列各式分母有理化：

【思路点拨】找分母有理化因式.

【答案与解析】

（1）

（2）

（3）

【总结升华】有理化因式不止一个，但以它们的乘积较简为宜.显然，与，a与a，b与b都是互为有理化因式.

举一反三：
【变式】（2020春•隆化县校级期末）阅读材料，并解决问题．

定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化．

解：原式==+

运用以上方法解决问题：

（1）将分母有理化；

（2）比较大小：（在横线上填“＞”、“＜”或“=”）

　       　（n≥2，且n为整数）

（3）化简：+++…+．

【答案】解：（1）=

=

=2﹣；

（2）∵=+，=+，

又＜，

∴＜，

∵=+，=+，

∴＜，

故答案为：＜，＜；

（3）原式=++…+

=﹣1+﹣+﹣+…+﹣

=﹣1.

4.  已知，，求下列各式的值：（1）；（2）.

【思路点拨】先把x、y的值分母有理化，再分别代入所求的两个式子即可.

【答案与解析】

（1）

【总结升华】此题考查分母有理化与二次根式乘除的应用.