2021学年7 二次根式学案

     二次根式—知识讲解（提高）

【学习目标】

1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.

2、理解并掌握下列结论： ≥0，（≥0），（≥0），（≥0），并利用它们进行计算和化简．

【要点梳理】

要点一、二次根式的概念

一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

要点诠释：
　　二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.

要点二、二次根式的性质
1.≥0，（≥0）；
2. （≥0）；
3..

4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（≥0，≥0）.

5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，

即（≥0，>0）.
要点诠释：
（1）二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，

即.

（2）与要注意区别与联系：

①的取值范围不同，中≥0，中为任意值。

②≥0时，==；<0时，无意义，=.

要点三、最简二次根式
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

   满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.

要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：

（1) 被开放数是分数或分式；

（2）含有能开方的因数或因式.

【典型例题】

类型一、二次根式的概念

 1．当x是__________时，+在实数范围内有意义？

【答案】 x≥-且x≠-1

【解析】依题意，得
　　 　　由①得：x≥-
　　 　　由②得：x≠-1
　　　　 当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义.

【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念.

举一反三：
【变式】方程，当时，的取值范围是（  ）

A．    B.≥2     C.    D.≤2

【答案】C.

类型二、二次根式的性质

2.根据下列条件，求字母x的取值范围：
　　(1)；   (2).
【答案与解析】(1)
　　　      　(2)

【总结升华】二次根式性质的运用.

举一反三：

【变式】（2020春•铁东区校级月考）问题探究：

因为，所以，

因为，所以

请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：

（1）；

（2）．

【答案】解：（1）

=

=；

（2）

=

=．

3. （2020春•江津区校级月考）我们可以计算出

①=2　=；=3

而且还可以计算=2==3

（1）根据计算的结果，可以得到：①当a＞0时=　a　；②当a＜0时=　 　．

（2）应用所得的结论解决：如图，已知a，b在数轴上的位置，化简﹣﹣．

【思路点拨】（1）直接利用a的取值范围化简求出答案；（2）利用a，b的取值范围，进而化简二次根式即可．

【答案与解析】

解：（1）由题意可得：①当a＞0时=a；②当a＜0时=﹣a；

故答案为：a，﹣a；

（2）如图所示：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，

则﹣﹣=﹣a﹣b+（a+b）=0．

【总结升华】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，正确化简二次根式是解题关键．

类型三、最简二次根式

4.化简：

【思路点拨】此类题型为规律题型，应该是在分母有理化的基础上寻找规律.

【答案与解析】原式=

              =

=

=2

【总结升华】找出规律，是这一类型题的特点，要总结此类题型并加以记忆.

举一反三：

【变式】若的整数部分是，小数部分是，求的值.

【答案】

又因为整数部分是，小数部分是

      则=13，=

=